Was Gelfand ausgelacht hat (Mathematische Kurzgeschichte für Nicht-Mathematiker)

Worüber hat Gelfand gelacht? (Mathematische Kurzgeschichte für Nicht-Mathematiker)

E. Glagoleva, V. Ptushenko
"Kvant" №4, 2013

Israel Moiseevich Gelfand (1913-2009)

Am 2. September 2013 wäre Israel Moiseevich Gelfand, einer der größten Wissenschaftler des 20. Jahrhunderts, 100 Jahre alt geworden.

In der wissenschaftlichen Welt ist Gelfand am besten als Mathematiker bekannt, der in fast allen Bereichen der modernen Mathematik seine Spuren hinterlassen hat. Biologen kennen ihn auch (es ist merkwürdig, dass als Gelfands Biologiearbeiten erschienen, einige Experten sich gefragt haben, ob dieser Biologe etwas mit dem berühmten Mathematiker Gelfand zu tun hat). Und der Gelfand-Pädagoge ist fast völlig unbekannt.

Dies ist jedoch nicht überraschend: Er war nie ein theoretischer Lehrer, er hat keine einzige Arbeit über Pädagogik. Seine äußerst interessanten und, sagen wir, weisen pädagogischen Ansichten werden in seiner langjährigen Tätigkeit verwirklicht. Und natürlich bei seinen Schülern.

Nicht zu übertreiben, kann man sagen, dass Gelfands Schüler alle waren, die mit ihm kommuniziert hatten. Ob es sich um einen Fall handelt, der von einer mehr oder weniger langen Konversation begleitet wird, oder von einer einzigen Konversation oder sogar von einer einfachen Anwesenheit während einer Konversation – die Menschen werden sicherlich ihren Einfluss in gewissem Maße erfahren.

Und er war einer der ersten, der einen mathematischen Zirkel für Schüler an der Moskauer Staatlichen Universität gründete, er nahm an der Organisation der ersten Moskauer Mathematischen Olympiade teil.

Aber Gelfands wichtigster Beitrag zur Pädagogik ist zweifellos die Correspondence Mathematical School (jetzt bekannt als VZMSH), die vollständig sein Geisteskind ist und buchstäblich von Grund auf erfunden und erschaffen wurde.

Das war vor fast 50 Jahren. Ich habe dann zufällig mit Israel Moiseevich zusammengearbeitet. Ich war der erste Vollzeitangestellte der Fernschule, und dieses Mal war es einer der schwierigsten und glücklichsten in meinem Leben.

Dieser Artikel ist die neueste Aufgabe von Israel Moiseevich. Er lebte dann in Amerika, und die Unterhaltung war in seinem Büro an der Rutgers Universität. Ich habe ihn nie wieder getroffen. Eine Fernschule ist gewachsen und arbeitet weiter, obwohl sie formal nicht existiert.

E. Glagoleva

Seit langer Zeit gibt es eine solche Legende: als ob einige Vorgesetzte in den Tiefen einer Schule ankamen, und in einer Mathematikstunde erklärte die Lehrerin die Addition von Brüchen zu den Schülern. "Der Zähler des ersten Bruchteils, – sagte der Lehrer, – muss dem Zähler des zweiten, und der Nenner des ersten – mit dem Nenner des zweiten hinzugefügt werden."Nach dem Unterricht kam der überraschte "hohe Gast" auf den Lehrer zu und sagte ihm, wie er die Brüche richtig setzen sollte. Und in der nächsten Lektion begann der Lehrer mit den Worten: "Wir wurden hier korrigiert: eine neue Anweisung kam vom Zentrum, und jetzt müssen wir Brüche anders hinzufügen."

Vor etwa 15 Jahren wurde diese Anekdote in einem Gespräch mit mehreren Mathematikern erzählt, darunter auch Israel Moiseevich Gelfand. Einer der Autoren dieses Artikels, der während des Gesprächs anwesend war, antwortete auf die Anekdote mit einer Passage, die für die Gesprächspartner unerwartet war:

– Nun, warum ist es eigentlich unmöglich solche Brüche hinzuzufügen? Lassen Sie uns eine solche Regel der Addition von Brüchen einführen und so fügen wir sie hinzu! Was behindert uns?

Ein Einwand folgte sofort:

– Aber dann wird das Vertriebsgesetz nicht ausgeführt!

– Nun, wenn du alles andere unverändert lässt, dann natürlich! Und wir werden die Multiplikationsregel der Brüche ändern, so dass das Verteilungsgesetz erfüllt ist, wie alle anderen Eigenschaften von Addition und Multiplikation.

– Nun gut, versuch es! – Die Gesprächspartner waren noch mehr überrascht. – Ich frage mich, wie du Erfolg haben wirst!

Als Antwort erschien eine Formel an der Tafel:

Hier lachte Gelfand:

– Großartig! – Sagte er. – Schreib darüber. Hier schreiben wir.

Warum hat Gelfand gelacht?

Fakt ist, dass Israel Moiseevich gemäß der Multiplikationsregel lang bekannte Zahlen in Mathematik und Zahlen gelernt hat, die auf verschiedenen Gebieten weit verbreitet waren, nur in fremden Kleidern gekleidet!

Deshalb bekennen wir uns zu diesem "getarnten Spiel" und notieren, dass die Platte "a/b"In unserem Fall bedeutet das natürlich nicht einen Bruch, sondern nur, weil Bruchteile nach verschiedenen Regeln addiert und multipliziert werden. So werden wir beispielsweise das" Kostüm "durch eine andere Bezeichnung ersetzen und auch statt des illegal vergebenen Namens "Bruch" geben wir einen anderen, zum Beispiel "seltsame Zahlen", oder kurz "C-Zahlen".

Aber warum einige seltsame "Brüche" können als Zahlen betrachtet werden? Und woher kamen das meiste Verteilungsgesetz und andere Gesetze? Und überhaupt:

Wie heißen wir Nummern?

Einfach gesagt, Zahlen sind etwas, das addiert und multipliziert werden kann, und gleichzeitig sind einige Regeln erfüllt – die Gesetze der Addition und Multiplikation, nämlich:

a + b = b + a, a · b = b · a,

(a + b) + c = a + (b + c), (a b) · c = a · (b · c),

a (b + c ) = ab + ac.

Diese Anforderungen werden für alle Arten von Zahlen erfüllt, beginnend mit natürlichen Zahlen und endend mit echten Zahlen.

Aber warum sind diese Eigenschaften von Zahlen so wichtig – insbesondere genau solcheund nicht andere, die Gesetze der Addition und Multiplikation? Zum Beispiel, warum muss sich die Summe nicht notwendigerweise ändern, wenn die Orte der Gegenstände gewechselt werden, und das Produkt der Summe durch die Zahl muss notwendigerweise gleich der Summe der paarweisen Arbeiten sein? Und woher kamen diese Regeln?

Berühre die Zahlen mit deinen Händen

Wenn wir irgendein Problem mit Hilfe der Mathematik lösen, verwenden wir anstelle von realen Objekten ihre mathematischen Bilder. Aber Zahlen (genauer gesagt, natürliche Zahlen) waren nicht lange von ihren sozusagen materiellen Trägern getrennt: Leute dachten nicht Worte, sondern Steine, Knoten, Kerben und schließlich Finger.

Auch später, als bereits natürliche Zahlen auftauchten, wurden praktische Berechnungen oft nicht auf dem Papier gemacht, sondern zum Beispiel auf einer Abaca oder in ihrer russischen Version – Konten. Und die Zahlen könnten es buchstäblich berühren, und die Wirkung der Gesetze könnte direkt gesehen werden. In der Tat, wenn es 100 Äpfel in einem Korb und 150 Äpfel in einem anderen Korb gibt, ist es nicht notwendig, sie zusammen zu setzen und sie zu erzählen, um herauszufinden, wie viele es gibt. Und da die Anzahl der Äpfel nicht von dem Korb abhängt, von dem Sie anfangen, sie zu zählen, sollte das Ergebnis des Hinzufügens der Zahlen nicht von der Reihenfolge der Gegenstände abhängen.

Zur gleichen Zeit, natürlich, gab es keine Notwendigkeit für die Formulierung von Gesetzen.

Keine einzige Punktzahl …

Vertrautheit mit neuen Phänomenen der Natur, die Entwicklung der menschlichen Aktivität forderte neue mathematische Bilder. Für das Zählen von Gegenständen genügten nur natürliche Zahlen; als verschiedene Dimensionen begannen, erschienen Fraktionen.

Darüber hinaus wurden Zahlen aus einem einfachen Werkzeug der menschlichen Praxis Gegenstand der wissenschaftlichen Forschung, und es wurde klar, dass die Konstruktion eines Zahlensystems ihre eigene Logik, interne Konsistenz verschiedener Eigenschaften dieses Systems, ihre gegenseitige Konsistenz haben muss. Es ist unwahrscheinlich, dass es in der Praxis notwendig ist, dass jemand weiß, was passiert, wenn 2 durch Null geteilt wird. Aber in Indien stritten sie im VII. Jahrhundert darüber: Einige Mathematiker glaubten das x : 0 = x, da "durch Null zu teilen bedeutet nichts zu teilen, so was übrig blieb" wird bleiben! Versuchen Sie, diese Aussage zu widerlegen, ohne über die Wechselbeziehung verschiedener Eigenschaften von Zahlen nachzudenken, d. H. Theorien Zahlen! Sie können natürlich sagen, dass das Teilen durch Null nicht "nichts trennt", sondern "in Nichts teilen", aber es wird zu Recht als ein Wortspiel angesehen, das das Wesen der Frage nicht klarstellt.In solchen Dingen war die auf der Praxis beruhende Intuition auf direkter Beobachtung in einigen Fällen nicht genug.

Ja, und oft widersprechen unsere intuitiven Ideen den mathematischen Gesetzen. Und jetzt passiert es, dass die Leute überrascht sind: "Wie ist das: Wir multiplizieren die Zahl" zwanzig "mit einer Sekunde und wir bekommen zehn? Multiplizieren bedeutet erhöhen, aber es fällt weniger aus." Und die Antwort auf die Frage: "Was ist mehr – fünf Prozent von drei oder drei Prozent von fünf?" es ist selbst für Schulkinder, die in die mathematische Klasse eintreten, keineswegs immer offensichtlich, und diese Antwort ist eine direkte Konsequenz des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

Negative Zahlen sind nicht einfacher: Obwohl negative Zahlen gut als "Schulden" interpretiert werden, im Gegensatz zu positiven, was "Profit" bedeutet, scheinen immer noch negative Zahlen weniger natürlich als Brüche. Was ist ein halber Apfel oder ein drittes Glas Wasser, kann jeder sehen oder sich vorstellen. Und wer hat jemals "minus drei Rubel" in seinen Händen gehalten? Und die Regeln der Aktion! "Was plus plus gibt plus ist richtig; das plus ein minus wird ein minus sein – es kann sein, aber ein minus zu einem minus plus zu geben, du lügst!"1 Es ist nicht überraschend, dass wir im täglichen Leben oft auf negative Zahlen verzichten, zum Beispiel "acht Grad Frost" anstelle von "minus 8 Grad" oder "ich habe 3 Tausend Rubel Schulden" anstelle von "Ich habe minus 3 Tausend Rubel".

Genannt gruzdem – geh in den Körper!

Die Eigenschaften von Zahlen und Aktionen auf ihnen werden also zum Teil von den Eigenschaften jener physischen Objekte oder Prozesse bestimmt, die sie beschreiben sollen, und zum Teil von der Notwendigkeit, ein konsistentes, intern konsistentes System aufzubauen. Konsistenz und innere Konsistenz sind für den mathematischen Apparat ebenso notwendig wie die Konsistenz zwischen den Bewegungen aller Teile einer Maschine – ohne sie wird es einfach nicht funktionieren.

Diese Konsistenz wird dadurch gewährleistet, dass alle Regeln für den Umgang mit Zahlen und literalen, also algebraischen Ausdrücken aus den fünf oben genannten Gesetzen folgen. In diesem Sinne spielen sie in der Algebra die gleiche Rolle wie geometrische Axiome, und wenn wir ihre Erfüllung für einige neue Zahlen fordern, bekommen wir eine "Garantie", dass das Neue das Alte nicht verderben wird, dass alle Zahlen nach den gleichen Regeln behandelt werden können .

Tatsächlich können wir die neue Nummer nur dann "Nummer" nennen, wenn wir sicherstellen, dass sie alle Anforderungen erfüllt, die für die früher bekannten Zahlen gelten. Das Sprichwort: "Obwohl du einen Topf nennst, leg ihn einfach nicht in den Ofen" ist in der Mathematik nicht anwendbar; hier ist ein anderer viel geeigneter: "Ich habe einen Namen für den Truck – geh in den Körper!" Wenn in der Mathematik etwas als Topf bezeichnet wird, kann es in den Ofen gestellt werden. Wenn etwas "Nummer" (oder "Vektor" oder "Funktion" oder "Alpha-Beta-Gamma-Abrakadabra") genannt wird, dann stellen Sie sicher, dass Sie damit alle Aktionen ausführen können und es alle charakteristischen Eigenschaften haben wird für eine bestimmte Art von mathematischen Objekten.

Seltsam, aber immer noch – Zahlen

Daher, wenn man nicht an ein Wort glaubt, bevor man seltsame Brüche durch Zahlen nennt, obwohl seltsam, müsste man die Umsetzung aller fünf Gesetze sorgfältig überprüfen. Wir werden nur zwei von ihnen überprüfen und dem Leser überlassen, den Rest selbst zu überprüfen.

1) Das Übertragungsgesetz (Kommutativität) für die Addition: . Tatsächlich

Hier ist die durchschnittliche Gleichheit wahr, da das Kommutativgesetz für das Addieren reeller Zahlen gilt (sowohl oberhalb als auch unterhalb der Linienaktionen werden mit "gewöhnlichen" reellen Zahlen durchgeführt), und die extremen Gleichheitszeichen sind aufgrund unserer Definition der Additionsoperation von "seltsamen Zahlen" wahr.

2) Vertriebsrecht (Distributivität): Tatsächlich:

In dieser Kette von Gleichheiten werden alle fünf Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen verwendet. Was haben wir bekommen?

Nullen und Einsen

So ist die formale Anforderung erfüllt: Die von uns eingegebenen c-Nummern folgen den für alle Zahlen obligatorischen Gesetzen.

Jetzt werden wir versuchen, diese neuen Zahlen "in die Hand zu nehmen", zu sehen, wie sie uns bekannten Zahlen ähneln, wie sie sich von ihnen unterscheiden, wie unterschiedliche Aktionen mit ihnen ablaufen, ob immer umgekehrte Aktionen ausgeführt werden, ob es null und eins und t unter diesen Zahlen gibt dd

Übrigens: Was ist Null?

Der einfachste Weg, um Null zu erhalten, ist das Subtrahieren von:

zz = 0.

Dies gilt für jede Nummer. z. Mit anderen Worten, mit jedem z Gleichheit ist wahr

z + 0 = z,

Das heißt, eine Null ist eine Zahl, von der sie zu einer Zahl hinzugefügt wird, die sie nicht ändert. Diese Gleichheit kann als Definition der Zahl Null betrachtet werden.

Es ist leicht zu verstehen, dass unter den C-Nummern die Zahl Null die Rolle spielt . Tatsächlich:

Jetzt nach der Einheit suchen. Eine Einheit ist für die Multiplikation gleich Null für die Addition, d. H. Eine Zahl, aus der Multiplikation, um die sich keine Zahl ändert: if für irgendeine Zahl das kann eine Einheit unter den C-Nummern genannt werden.Es ist einfach, das zu zeigen x = 1, y = 0, d.h. die Nummer spielt die Rolle der Einheit für C-Nummern .

Wirklich und seltsam: dehnen Sie die Bindersaiten

Nun wollen wir sehen, wie die Menge der c-Zahlen mit der Menge der "gewöhnlichen", d. H. Reellen Zahlen, zusammenhängt? Wir verwenden die Tatsache, dass jede c-Zahl in zwei Terme unterteilt werden kann (gemäß der Regel der Addition von c-Zahlen):

Betrachten Sie den ersten Begriff. Es stellt sich heraus, dass die Zahlen sind verhalten sich genau wie die meisten gewöhnlichen reellen Zahlen: die Summe und das Produkt solcher Zahlen wird die Zahl sein gleiche Art, als

zur gleichen Zeit treten Addition und Multiplikation (und ihnen entgegengesetzte Operationen) gemäß den "üblichen" Regeln auf (wie in den "normalen" reellen Zahlen, mit Ausnahme der Null, die dem Ende jeder Zahl unter der Linie zugewiesen ist). Und, was sehr wichtig ist, werden sowohl die Null- als auch die Einheitselemente der C-Nummern auch unter diesen Zahlen sein das heißt, sowohl "Null" als auch "Eins" von S-Nummern und reellen Zahlen sind üblich! Daher sind wir "Zahlen" der Form wir können einfach einfach bezeichnen a. Dann die Nummer wird als Summe präsentiert .

Wir betrachten nun den zweiten Term, also die Nummer des Formulars . Es ist leicht zu sehen, dass das Hinzufügen solcher Nummern eine Anzahl der gleichen Art gibt:

Es stellt sich heraus, dass die c-Zahlen "durch den Ausdruck" addiert (und subtrahiert) werden: die wirklichen Ausdrücke sind mit den echten, und die seltsamen sind mit den seltsamen. Natürlich: Schließlich wollten wir die Zähler und Nenner addieren, wenn wir "Brüche" hinzufügen.

Multiplikation ist schwieriger, man muss verschiedene Situationen berücksichtigen.

Lassen Sie uns zuerst sehen, wie die Nummer des Formulars multipliziert wird nach reeller Nummer. Um dies zu tun, setzen Sie in der Formel, die die Multiplikationsregel für C-Zahlen setzt a = 0 und d = 0. Holen

Das heißt, durch Multiplizieren einer c-Zahl mit einem "Zähler" von null durch eine reelle Eins erhalten wir eine c-Zahl. Dann irgendeine C-Nummer kann als ein Produkt einer reellen Zahl dargestellt werden b nach Nummer :

.

Es stellt sich heraus, dass die Nummer erzeugt sozusagen alle s-Zahlen, so wie eine Einheit alles real erzeugt. Deshalb nennen wir (vorübergehend) diese Zahl "c-unit" und bezeichnen sie als: 1c.

Jetzt jede S-Nummer kann als geschrieben werden

Hier a und b – reelle Zahlen, "+" – das Zeichen der Addition, b·1c – Produkt einer reellen Zahl b c-Einheit, d.h. c-Nummer .

Diese Form ist sehr praktisch für c-Zahlen: In dieser Form können sie nach allen Regeln der Algebra aufgerufen werden, da wir überprüft haben, dass alle Gesetze eingehalten werden, und die Regeln der Algebra folgen aus diesen Gesetzen.Daher können wir jetzt zwei c-Zahlen, die in dieser Form geschrieben sind, nach der Regel der Multiplikation von Polynomen multiplizieren.

Unerwartetes Ergebnis

Um mit der Multiplikation von C-Zahlen zu enden, bleibt es zu prüfen, was erhalten wird, indem man zwei C-Nummern des Formulars multipliziert . Weil, wie wir gerade gezeigt haben, jede Zahl kann als ein Produkt einer reellen Zahl und einer c-Einheit dargestellt werden, dann genügt es zu überprüfen, wie das Quadrat der c-Einheit ist, d. h. (1c)2 . Nimm eine Nummer und multipliziere von selbst:

Hier können Sie rufen: Wache! Platz s-Nummern haben sich als gültig herausgestellt negativ nach Nummer! Dies ist in der Tat eine völlig neue und (wie wir bald sehen werden) eine sehr wichtige Eigenschaft von c-Zahlen (unter reellen Zahlen, wie wir uns erinnern, wurde nichts dergleichen gefunden).

Also . Ersetzen in der folgenden Gleichheit (1c)2 auf -1, wir bekommen

(a + b · 1c) · (c + d · 1c) = ac + Anzeige · 1c + bc · 1c + bd · (1c)2 = ac – bd + (ad + bc) · 1c.

Wenn diese Formel in der alten Schreibweise geschrieben ist, wo der reelle Begriff im "Zähler" steht und der seltsame Begriff im "Nenner" ist, d. H. Ersetzen a + b · 1c auf , c + d · 1c auf und ac – bd + (ad + bc) · 1c auf dann erhalten wir die Multiplikationsregel, die in einem Interview mit Gelfand vorgeschlagen wurde:

Entfernen Sie die Maske

Jetzt wird klar, warum Gelfand sich nicht von unserer Verkleidung täuschen ließ.Wir werden davon frei sein und wir werden mit C-Nummern zurückkommen ihre eigenen "Kleider" – die Bezeichnung und der Name, die in der Mathematik verwendet werden.

In der Tat wird die C-Unit nicht als "seltsame" Einheit bezeichnet, sondern imaginär und ist durch den Brief angegeben ich (aus dem Wort Imaginarius – imaginär). Dementsprechend unsere seltsamen Zahlen bi werden angerufen imaginärund die Nummern der Form a + biwo ich = -1 werden aufgerufen komplex nach Zahlen.

Es ist klar, dass die Menge der komplexen Zahlen alle reellen Zahlen enthält (wenn b = 0) und alle imaginären Zahlen (wenn a = 0).2

Woher kamen die komplexen Zahlen?

Diese neuen Zahlen enthalten also eine Zahl, deren Quadrat negativ ist: ich2 = -1. Dies sind in der Tat neue Zahlen, solche Zahlen gehören nicht zu den wirklichen.

Es ist klar, dass "aus Erfahrung" solche Zahlen nicht entstehen konnten – schließlich waren sogar negative Zahlen von Mathematikern nicht sehr leicht wahrzunehmen, da es schwierig ist, sich die "negativen" Objekte der realen Welt vorzustellen. Und komplexe Zahlen sind etwas noch "Exotischeres", was es in der "echten" Welt noch schwieriger macht, ein Match zu finden.

Natürlich sind hier die "intramathematischen" Bedürfnisse. Insbesondere mit der Entwicklung der Mathematik ergab sich ein neuer Anreiz für die Einführung neuer Zahlen: die Realisierbarkeit inverser Operationen.So stellte die Einführung von negativen Zahlen und Null die Möglichkeit der Subtraktion und die Einführung von Brüchen – Teilung zur Verfügung. (Es gibt zwar eine erhebliche Einschränkung für die Division: Division durch Null ist unmöglich. Aber diese Einschränkung betont nur, dass Sie in der Mathematik nichts tun können: ein neues sollte nicht dem widersprechen, was zuvor getan und bewiesen wurde.) Durch Einführung komplexer Zahlen, Aktion umgekehrt zur Exponentiation.

Aber komplexe Zahlen erschienen in der Mathematik aus einem ganz anderen Grund. Es war im XVI Jahrhundert. Unter den Mathematikern der Zeit wurden verschiedene Wettbewerbe verteilt, Wettbewerbe (manchmal öffentlich, wie moderne Matboi) zur Lösung schwieriger Probleme. Eine dieser Aufgaben bestand darin, eine allgemeine Formel zur Lösung von kubischen Gleichungen zu finden. Der italienische Mathematiker Cardano (er war auch Arzt und Ingenieur: Die Antriebswelle ist sein Job) bei der Lösung dieses Problems stand vor einer erstaunlichen Tatsache. Ein Ansatz zur Lösung von kubischen Gleichungen bestand darin, die kubische Gleichung durch Substitutionen, die bereits bekannte Lösungsmethode und dann durch die erhaltenen Quadratwurzeln, um die gesuchten kubischen Wurzeln auszudrücken, auf eine quadratische Gleichung zu reduzieren.In diesem Fall wurde dann natürlich angenommen, dass die quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante keine Wurzeln hat. Es schien natürlich, dass, wenn die quadratische Hilfsgleichung keine Wurzeln hat, die entsprechende kubische Gleichung diese auch nicht hat.

Es hat sich jedoch unerwarteterweise herausgestellt, dass in dem Fall, wenn die Diskriminante der Hilfsgleichung negativ ist (d. H. Ein negativer Wert für die Quadratwurzel steht), die ursprüngliche kubische Gleichung nicht nur eine Wurzel oder zwei hat, sondern hat drei andere gültige Wurzel! Um diese Wurzeln zu berechnen, war es notwendig, mit Quadratwurzeln negativer Zahlen zu arbeiten. Und hier machte Kar-dan einen mutigen Schritt: Er markierte die "nicht heilbare" Wurzel des -1-Buchstabens ich.

Diese Situation kann mit einer kurvigen Straße verglichen werden. Wir können von einer Schleife zur anderen springen; Zur gleichen Zeit, wenn wir von der Straße verschwinden, werden wir irgendwann wieder dorthin zurückkehren. Die Punkte des Raumes, die eine Straße umgeben, die durch endlose Felder oder Wälder führt, interessieren den Reisenden vielleicht nicht allein auf der Straße, sind ohne spezielle Fahrzeuge vielleicht unüberwindbar, mögen sogar "unwirklich" und unnötig erscheinen (weil sie keine Meilensteine ​​darstellen, sie helfen nicht, von Stadt zu Stadt zu ziehen).Aber wenn es noch irgendwie möglich ist, sich auf ihnen zu bewegen, dann können sie die Straße deutlich "abschneiden".

Aber auch diese "unwirklichen" Punkte um das "Reale" herum erwiesen sich als sehr interessant und sogar nicht so "unwirklich". Für sie wurden Prototypen in der "realen" Welt gefunden, und komplexe Zahlen waren in der Folge sehr nützlich, um diese Typen zu beschreiben. Zu diesen Prototypen gehörten beispielsweise Pendel und Wellen. Und da von den ersten Schritten an klar wurde, dass alle Materie Welleneigenschaften hat, können wir sagen, dass uns komplexe Zahlen überall umgeben.

Und vor allem haben komplexe Zahlen mathematischen Konzepten eine gewisse Harmonie verliehen. Wenn wir zum Beispiel algebraische Gleichungen in reellen Zahlen lösen, stehen wir ständig vor der Frage: Hat diese Gleichung Wurzeln, und wenn ja, wie viele? Für verschiedene Gleichungen können die Antworten auf diese Fragen unterschiedlich sein. Und mit der Einführung komplexer Zahlen wird alles schön und natürlich: jede algebraische Gleichung nich habe grad genau n Wurzeln. Und das ist nur ein Beispiel.

Mit der Welt auf einem Faden – ein nackter Haufen Fäden

Wie Sie sich erinnern, der Autor des Artikels, der Gelfand vorgeschlagen, Bruchteile nach der "Regel" Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner hinzuzufügen, "drohte" mit der Nichteinhaltung der Vertriebsgesetze (oder andere Gesetze).

Ein anderer Autor des Artikels, mit seiner charakteristischen Akribie, entschied sich zu überprüfen, woraus genau dieser Gesetzesverstoß besteht. Und dann gab es einen Vorfall! Es stellt sich heraus, dass, wenn wir die "Regel" der Addition akzeptieren und Verändern Sie nicht die Multiplikationsregeldann sind alle Gesetze des Handelns perfekt erfüllt.

Was ist das Ergebnis? Und es stellt sich heraus, dass solche "Fraktionen" kann auch als zahlen angesehen werden!

Auf den ersten Blick erscheint es unverständlich, warum ein so einfaches Objekt in der Mathematik nicht "geschlagen" wurde, warum haben Mathematiker es ignoriert und stattdessen völlig andere, komplexere Regeln für den Umgang mit Zahlenpaaren eingeführt? Aber schauen Sie sich diese einfachen Regeln der Addition und Multiplikation genau an: Unter keinen Operationen "vermischen" sich die "Zähler" und "Nenner" solcher "Brüche" nicht! Der "Zähler" des Ergebnisses hängt nur von den "Zählern" der Terme oder Faktoren ab, und der "Nenner" nur von den "Nennern". Der Zähler und Nenner einer solchen Fraktion "lebt" jeweils mit seinem eigenen Leben – dem Leben der "normalen" Menge von ganzen Zahlen.Jede dieser zwei "Welten" (über der Linie und unter der Linie) wird ihre eigene Null haben, eine eigene Einheit – genau so wie es in der Welt der ganzen Zahlen ist.

Eine solche Konstruktion gibt nichts Neues: Es sind immer noch echte Zahlen, die gerade jetzt paarweise "laufen". Erinnern wir uns, dass rationale Zahlen fundamental neue Objekte in Bezug auf ganze Zahlen sind, genau wie komplexe in Bezug auf reelle Zahlen: die Einführung der ersten erlaubten das Lösen von linearen Gleichungen, die Einführung der zweiten – algebraischen Gleichungen beliebiger Grade. In unserem Beispiel passierte etwa das gleiche, was in dem Witz im Titel dieses Absatzes gesagt wurde: Die Menge der Fäden war kein Hemd, sondern nur ein Haufen Fäden …

"Und wir sind schlechter?", Oder warum Vektoren keine Zahlen sind?

Zusammenfassend lassen Sie uns ein paar Worte über ein weiteres mathematisches Objekt sagen, ähnlich dem, das wir gerade betrachtet haben: zweidimensionale Vektoren. Immerhin sind dies auch geordnete Zahlenpaare! Warum werden sie nicht als Zahlen betrachtet? Wie sind sie schlechter als komplexe Zahlen? Das Hinzufügen von zweidimensionalen Vektoren ist der Addition komplexer Zahlen sehr ähnlich – es ist auch termswise: die erste Zahl (im Falle eines Vektors heißt es Komponente) entwickelt sich mit dem ersten, dem zweiten – mit dem zweiten. Hier ist die Ähnlichkeit offensichtlich. Es kann hinzugefügt werden, dass komplexe Zahlen oft durch zweidimensionale Vektoren auf dem sogenannten komplexe Ebene.

Hier endet jedoch die Ähnlichkeit: Vektoren haben keine Multiplikation. So genannt Punkt Produkt Zwei Vektoren ist kein Vektor – und dies ist die Hauptvoraussetzung für die Multiplikation derjenigen Objekte, die Zahlen genannt werden können: so dass es ein Objekt der gleichen Natur wie die Faktoren gibt. Richtig, in der Vektoralgebra führen sie auch ein Vektorprodukt zwei Vektoren, und sein Ergebnis ist wiederum ein Vektor. Aber erstens existiert es für Vektoren im Raum, das heißt, es hat drei Komponenten. Und zweitens erfüllt es das Kommutativgesetz nicht. Warum (und warum) – Dies ist ein Thema für eine separate Konversation, die weit über die Grenzen des mathematischen Witzes hinausgeht, über den Gelfand schreiben wollte.


1 Aus Ivan Vasilenkos Buch "Geschichten über Artyomka. Artyomka in Gymnasiasten".
2 Zahlen des Formulars bi manchmal als rein imaginär bezeichnet.


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