Was ist zwischen einer Ente und einem Flugzeugträger gemeinsam? • Hayk Hakobyan • Wissenschaftlich beliebte Aufgaben zu den "Elementen" • Physik

Was ist zwischen einer Ente und einem Flugzeugträger gemeinsam?

In der Aufgabe Musik der Wellen, der Musik des Windes, wurde die Ausbreitung von Wellen auf der Oberfläche von tiefem Wasser diskutiert. Insbesondere wurde aus Dimensionsüberlegungen abgeleitet, dass die Wellenzahl \ (k \) und die Frequenz \ (\ omega \) solcher Wellen durch die Dispersionsrelation \ (\ omega ^ 2 = gk, \) in Beziehung stehen, wobei \ (g \) die Beschleunigung von frei ist der Herbst. Die Konzepte der Phasen- und Gruppenwellengeschwindigkeiten wurden ebenfalls diskutiert. Die Phasengeschwindigkeit ist \ (v _ {\ text {ф}} = \ omega / k \), und wenn die oben angegebene Dispersionsrelation funktioniert, ist die Gruppengeschwindigkeit 2 mal kleiner als die Phasengeschwindigkeit. Einige davon sind jetzt nützlich.

In dem oben erwähnten Problem wurden Wellen auf der Wasseroberfläche durch den konstanten Einfluss des Windes erzeugt, und die einfachste Situation wurde in Betracht gezogen: Die Wellen breiten sich in einer geraden Linie aus. Diese Zeit ist ein etwas interessanterer Fall.

Wenn etwas groß genug ist, um auf der Wasseroberfläche mit konstanter Geschwindigkeit zu schwimmen, bleibt hinter dem "konischen" (da alles auf der Wasseroberfläche passiert, es ist richtiger, von einem divergierenden Winkel zu den Wellen zu sprechen) die Struktur der Wellen, die sich als nächstes erstreckt. Dies kann sowohl beobachtet werden, wenn die Ente langsam über den Teich schwimmt, als auch wenn ein mehr Tonnen schwerer Flugzeugträger durch den Ozean schneidet (Abb. 1). Die mathematische Beschreibung dieses Effekts wurde zuerst von Lord Kelvin im 19. Jahrhundert gegeben (W.Thomson, 1887. Auf Schiffswellen); Sie wurden seitdem Kelvin-Wake genannt, was man als Kelvins "Wake-to-water waves" übersetzen kann.

Abb. 1. Killevate Wellen auf der Oberfläche des Wassers. Fotos von den Seiten math.ubc.ca und thatsmaths.com

Aufgabe

Interessanterweise hängt der Winkel zwischen den divergierenden Wellen in keiner Weise von der Geschwindigkeit des Objekts ab, noch von seiner Größe oder irgendetwas anderem (es spielt keine Rolle: eine Ente oder ein Flugzeugträger schwimmt). Dieser Winkel ist eine universelle Konstante, die sich aus rein geometrischen Überlegungen ergibt.

Ermitteln der Wert des "konischen" Winkels von Wake-Wellen.


Tipp 1

Erklären Sie zuerst, warum dieser Winkel von nichts abhängt. Denken Sie darüber nach, was passieren wird, wenn Sie nur Ihre Hand halten oder mit konstanter Geschwindigkeit im Wasser stecken bleiben. Und was, wenn Sie zwei Schiffe nehmen, von denen eines eine scharfe Nase hat und das andere eine flache Nase hat?

Gibt es eine bestimmte Länge in diesem Problem? Wenn nicht, was sollte dann folgen? Wenn ja, wie lang ist diese Länge? Sie können die gleiche Frage anders stellen: Wie lang werden die Wellen durch eine solche Bewegung erzeugt?


Tipp 2

Versuche, geometrisch zu denken. Zeichnen Sie, wie die Phasenfront gebildet wird, dh auf welcher Kurve alle Phasenpunkte liegen. Nutzen Sie danach die Tatsache, dass sich die Wellenpakete selbst in der Richtung senkrecht zur Phasenfront zweimal langsamer ausbreiten.


Lösung

Zuerst müssen Sie erkennen, dass es in der Aufgabe keinen eindimensionalen Parameter gibt. Die Größe eines Schiffes oder einer Ente, ob ein Schiff eine flache oder scharfe Nase hat, hängt von nichts ab. Das einzige, was die Geometrie des Objekts selbst beeinflusst, sind einige Turbulenzen irgendwo in der Nähe der Nase, während in großer Entfernung vom Objekt die Wellen keine Größe mehr fühlen.

Schiffsgeschwindigkeit v, könnte ein dimensionaler Wert sein, wenn die Aufgabe eine Eigenschaft der Zeit hätte, mit deren Hilfe es möglich wäre, die Geschwindigkeit in eine Entfernung umzuwandeln.

Es stellt sich heraus, dass, da wir keine ausgewählte Länge haben, das Schiff selbst (oder die Ente) als materieller Punkt betrachtet werden kann. Folglich gibt es keine bestimmte Wellenlänge: das Schiff erregt im Wesentlichen alle Wellenlängen (oder alle Wellenzahlen \ (k \) und Frequenzen \ (\ omega \)) gleichzeitig. Das Ergebnis der Überlagerung solcher Wellen ist in Abb. 2

Abb. 2 Das Ergebnis der Überlagerung aller Wellenlängen, die von einem horizontal segelnden Schiff angeregt werden

Aber wie kommt es, dass das Ergebnis eine "konische" Form mit einem Winkel ist, der von keinen anderen Parametern abhängt?

Erstens ist es offensichtlich, dass wir nur an jenen Wellen interessiert sind, deren Phasengeschwindigkeit kleiner ist als v. Wenn die Phasengeschwindigkeit größer ist vEs wird keine Phasenfront geben, wir werden das etwas später sehen.

In Abb. 3 zeigt, wie die Phasenfront für eine der vom Schiff erzeugten Wellen mit der Phasengeschwindigkeit \ (v _ {\ rm ф} = 0 {,} 8 v \) gebildet wird. Alle Punkte auf der roten Linie der Phasenfront haben die gleiche Phase. Für die Zukunft müssen Sie sich daran erinnern, dass das Schiff viele Wellen mit Phasengeschwindigkeiten von \ (v _ {\ rm} \ ca. 0 \) bis \ (v _ {\ rm}} ca. v \) erzeugt, aber wir werden sie getrennt betrachten der Einfachheit halber.

Abb. 3 Die Bildung der Phasenfront für \ (v _ {\ rm f} = 0 {,} 8 v \)

In Wirklichkeit sind wir natürlich nicht an der Phasenfront interessiert, sondern in der Gruppe, da sich das physikalische Wellenpaket, Energie und Information über die Welle mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreiten. Um eine Gruppenfront zu erstellen, erinnern wir uns daran, dass sich das Wellenpaket mit einer Geschwindigkeit bewegt, die halb so groß ist wie die Phase (in diesem Beispiel also 0,4)v), in der Richtung senkrecht zur Phasenfront. In Abb. 4 zeigt, wie eine solche Gruppenfront unter Verwendung von Linien senkrecht zur Phasenfront gebildet wird.

Abb. 4 Bildung der Gruppenfront

Wie oben erwähnt, regt das Schiff viele Wellen mit Phasengeschwindigkeiten von 0 bis v. In Abb. 5 zeigt, wie solche Fronten bei all diesen Wellen gebildet werden. Während die Phasenfront einen beliebigen Neigungswinkel relativ zur Trajektorie aufweisen kann, weicht die Gruppenfront auch bei Geschwindigkeiten nahe bei nicht mehr als einem bestimmten Wert des Winkels ab v.

Abb. 5 Phasen- und Gruppenfronten für unterschiedliche Wellengeschwindigkeiten

In Abb. 6 zeigt viele der gleichen Wellen mit gepunkteten Kreisen, die zu einem Zeitpunkt in der Vergangenheit (als das Schiff am violetten Punkt war) angeregt wurden. Die Tangenten dieser Kreise von der aktuellen Position des Schiffes (gelber Punkt) entsprechen den Phasenfronten für jede der Wellen, und die Zentren der Senkrechten zu den Phasenfronten entsprechen den Positionen der Wellenpakete. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, bilden diese Zentren einen Kreis (mathematisch leicht zu beweisen, versuchen Sie es selbst), dessen Tangente dem maximalen Divergenzwinkel der Wellen entspricht, an dem wir interessiert sind.

Abb. 6 Anregung von Wellen mit Phasengeschwindigkeiten von 0 bis v (gepunktete Kreise), entsprechende Phasenfronten (tangential zu den Kreisen von gelber Punkt rechts) und die Position des Wellenpakets für jeden der Fälle. Es ist ersichtlich, dass es einen maximalen Winkel der Wellenfrontablenkung gibt.

Nachdem wir den Grund, aus dem ein maximaler Neigungswinkel der Wellenpakete besteht, verstanden haben, finden wir seinen Wert. Glücklicherweise ist dies mit dem verfügbaren Wissen ein einfaches geometrisches Problem. Offensichtlich kann das Phasenpaket für eine Welle mit \ (v _ {\ rm}} ca. 0 \) nicht weit gehen, so dass das linke Ende unseres gewünschten Kreises (die Position der Wellenpakete, Fig. 7) durch die Ausgangsposition des Entlein oder des Schiffes verläuft. Andererseits muss das Wellenpaket für eine Welle mit \ (v _ {\ rm} \ approx v \) ungefähr \ (vt / 2 \) in horizontaler Richtung durchlaufen (da die Phasenfront dann vertikal ist). So wird ein Kreis mit einem Durchmesser \ (vt / 2 \) erhalten, und jetzt ist es notwendig, den Winkel der Tangente zu finden, \ (\ theta \).

Abb. 7 Positionen von Wellenpaketen für alle Wellen, die seit einiger Zeit angeregt werden t zurück, einen Kreis mit einem Durchmesser bilden vt/2

Aus der Tangentialeigenschaft ist leicht ersichtlich, dass \ (\ sin {\ theta} = (vt / 4) / (3vt / 4) = 1/3 \) und daher \ (\ theta \ approx 19 {,} 47 ^ {\ circ} \). Das heißt, der "konische" Winkel \ (2 \ theta \ approx 38 {,} 9 ^ {\ circ} \).Beachten Sie, dass wir in der Tat nur zwei einfache Fakten verwendet haben, um diesen Wert abzuleiten: (a) ein Objekt auf Wasser erregt ein ganzes Spektrum von Wellen mit Phasengeschwindigkeiten von 0 bis v, (ba) Wellenpakete breiten sich mit der halben Geschwindigkeit der Phase in der Richtung senkrecht zur Phasenfront aus. Und die resultierende Zahl hängt nicht von der Form oder Größe des schwebenden Objekts ab, noch von der Geschwindigkeit seiner Bewegung.


Nachwort

Wie immer, eine Reservierung im "Kleingedruckten" ist an jeder schönen physikalischen Theorie angebracht, die eigentlich nicht so einfach ist. Im Jahr 2013 wurde eine sehr interessante Arbeit von französischen Physikern veröffentlicht, in der die Autoren Satellitenbilder auf Google-Karten analysierten und Statistiken über die Winkel einer Wake-Wave-Lösung sammelten.

In Abb. 8. Zwei Beispiele solcher Bilder werden gezeigt. Auf der ersten, eine große Handelsbarge verlässt eine Spur mit einem Lösungswinkel nahe dem vorhergesagten Wert, \ (\ alpha \ ca 20 ^ {\ circ} \). Die zweite Aufnahme zeigt ein kleines Schnellboot mit einem Aufweckwinkel von \ (\ alpha \ ca 9 ^ {\ circ} \). Eine Analyse der Winkelstatistiken hat gezeigt, dass zusätzlich zu den Fällen, in denen die Winkel ungefähr gleich dem vorhergesagten Wert von \ (19.47 ^ {\ circ} \) sind, es auch viele Fälle gibt, in denen die Winkel der Lösung kleiner sind!

Abb. 8 Beispiele für Wake Waves in Satellitenbildern. Im ersten Fall ist der Winkel nahe dem vorhergesagten (\ (\ alpha \ approx 20 ^ {\ circ} \), im zweiten Fall ist er kleiner (\ (\ alpha \ approx 9 ^ {\ circ} \)). Foto aus Marc Rabauds Artikel, Frédéric Moisy, 2013. Schiff erwacht: Kelvin oder Mach Winkel?

Grundsätzlich entsprachen diese "Ausnahmen" kleinen und schnellen Booten. Es stellt sich heraus, dass die oben beschriebene Theorie einige Einschränkungen hat. Was ist los?

Der Schlüssel zur Erklärung dieses Phänomens war der dimensionslose Parameter, der die Froude-Zahl (Froude-Zahl) genannt wird:

\ [Fr = \ frac {U} {\ sqrt {g L}}, \]

wo U und L – die Geschwindigkeit und Größe des Schiffes und g – Schwerkraftbeschleunigung. Dieser Parameter legt die Beziehung zwischen der Rückstellkraft (in diesem Fall die Schwerkraft) und der Trägheit des Schiffes fest. Wenn Sie die berechneten Lösungswinkel für jede der auf Satellitenbildern gefundenen Wake-Spuren abhängig von der entsprechenden Froude-Zahl plotten, erhalten Sie eine ziemlich exponentielle Abhängigkeit (rote Punkte in Abb. 9).

Abb. 9 Die Winkel der Wake-Track-Lösung in Abhängigkeit von der Froude-Zahl für theoretische Modelle (blaue Kurven), Statistiken von Satellitenfotos (rote Punkte) und Simulationen (gelbe Punkte). Bild aus Artikel Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Schiffsweckungen: Kelvin oder Mach Winkel?

Während die Froude-Zahl kleiner als 0,4-0,6 ist, sind die Winkel gleich dem vorhergesagten Wert, für große Werte dieses Parameters wird die Spurweite schmaler. Kleine Werte der Froude-Nummer entsprechen kleinen Geschwindigkeiten oder großen Schiffsgrößen.

Zum Beispiel wird für einen Flugzeugträger der Nimitz-Klasse mit einer Länge von 300 m, der mit maximaler Geschwindigkeit (60 km / h) rast, die Froude-Zahl 0,3 nicht überschreiten, und die Wake-Wave-Lösungswinkel sind immer \ (\ approx 20 ^ {\ circ} \ ). Und für ein 20 m langes Fischerboot mit einer Geschwindigkeit von 30 km / h (was die Hälfte seiner maximalen Geschwindigkeit ist) kann die Froude-Zahl größer als 0,6 sein, und der Spurwinkel ist kleiner. Bei einer Ente (Länge 20 cm, Geschwindigkeit 0,5 m / s) überschreitet die Froude-Zahl nicht die Werte von 0,3-0,4.

Also, was ist das Geschäft? Was wir bei der Entscheidung nicht berücksichtigt haben und warum für größere Froude-Zahlen ein kleinerer Lösungswinkel erhalten wird? Es stellt sich heraus, dass bei kleinen Größen eines schwebenden Objekts (oder bei hohen Geschwindigkeiten) die Annahme, dass Wellen mit allen möglichen Längen (oder alle möglichen Wellenzahlen) nicht erfüllt sind. Tatsache ist die Schiffslänge L nicht in der Lage, Wellen länger als effektiv zu erregen L.

Um dieses schöne Bild mit einem konstanten Winkel zu bilden, das wir in der Lösung besprochen haben, ist es notwendig, Wellen mit einer Länge von mindestens bis zu (U ^ 2 / g \) zu erregen.Ansonsten stellt sich heraus, dass einige der Wellen (in Fig. 7 gezeigt) einfach nicht erzeugt werden und der maximale Winkel nicht erreicht wird. Daher ist, wenn \ (L \ lessim U ^ 2 / g \) (oder \ (Fr \ gtrsim 1 \)) der maximale Ausbreitungswinkel der Wellenpakete geringer. Diese Theorie wird durch Simulationen bestätigt (Abb. 10). Die Autoren des obigen Artikels nannten diese beiden Regime (mit einer kleinen und einer großen Anzahl von Froude) Kelvin- bzw. Mach-Regimes.

Abb. 10 Simulationen von Wake-Wave-Perturbationen für Fälle mit unterschiedlichen Werten der Froude-Zahl. Bild aus Artikel Marc Rabaud, Frédéric Moisy, 2013. Schiffsweckungen: Kelvin oder Mach Winkel?

Was kann also aus dieser ganzen Geschichte über das scheinbar einfachste geometrische Problem gelernt werden? Zuallererst müssen Sie daran denken, dass jedes physikalische Problem durch eine Reihe von dimensionslosen Parametern beschrieben wird. Wenn es keine solchen Parameter gibt (wie es in unserer Lösung der Fall war), sollte das Ergebnis des Modells von nichts abhängen. Der dimensionslose Parameter – in diesem Fall die Froude-Zahl – setzt immer eine Beziehung zwischen zwei physikalischen Phänomenen und bestimmt somit die Grenzen der Anwendbarkeit des physikalischen Modells.

In dem Problem der Gravitationswellen auf der Oberfläche des Tiefenwassers war dieser Parameter das Verhältnis \ (\ Lambda / h \), wobei \ (\ Lambda \) die Wellenlänge und ist h – Die Tiefe des Ozeans.Wenn dieses Verhältnis eher klein ist, dann hat der "Tiefwasser" -Ansatz funktioniert, bei dem die Welle das Vorhandensein des Bodens nicht spürt.

Bei Problemen mit der Akkretion einer dünnen Platte (im Gegensatz zur Plattenakkretion und der Akkretion) war dieser Parameter das Verhältnis der Dicke der Platte zu ihrem Radius, was uns erlaubte, ein Modell einer dünnen Platte zu konstruieren. Im Problem der verzögerten Stunden aufgrund der Auswirkungen von GR (Lassen Sie uns Uhren überprüfen), die Dimension des Gravitationspotentials \ (GM / r \) zu \ (c ^ 2 \) (oder, äquivalent, das Verhältnis der Gravitationsradius \ (2GM / c ^ 2 \) auf die Entfernung zum Objekt r). Im Falle von SRT ist dieser Parameter das Verhältnis der Geschwindigkeit von Objekten zur Lichtgeschwindigkeit.

Es fällt auf, dass die dimensionslosen Parameter (die Reynolds-Zahl, das Verhältnis der Corioliskraft zur Trägheit der Materie usw.), die die "Atmosphären" von Neutronensternen (die sogenannte ionisierte Schicht schwerer Materie mehrere Zentimeter über ihrer Oberfläche) beschreiben, ungefähr mit den beschreibenden dimensionslosen Parametern übereinstimmen die Atmosphäre unserer Erde. Und dies trotz der Tatsache, dass es eine völlig andere Umgebung gibt, eine andere Substanz, Rotation, andere Dimensionen (die Größe eines Neutronensterns ist ~ 10 km und die Größe der Erde ist ungefähr 1000 mal größer, etc.).So ist zum Beispiel die Beschreibung der Dynamik der Wirbel auf der Oberfläche eines Neutronensterns die gleiche Komplexität wie die Beschreibung der Bewegung von Hurrikanen auf der Erdoberfläche.

Daher ist es eine wichtige Lektion, dass Sie, sobald Sie ein physikalisches Problem lösen, unabhängig davon, wie komplex es ist, zuerst die relevanten dimensionslosen Parameter bestimmen müssen, die die Grenzen Ihres Modells definieren. Und aufgrund der Tatsache, dass die Mathematik über die Existenz der Dimension "nicht weiß", kann jedes mathematische Modell eines physikalischen Phänomens konstruiert werden, indem nur dimensionslose Parameter und Größen verwendet werden, die Physiker ständig verwenden.


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