V = S = P • Nikolay Avilov • Populärwissenschaftliche Probleme zu "Elementen" • Mathematik

V = S = P

Aufgabe

Ist da ist ein konvexes Polyeder, dessen Zahlenwerte Volumen, Fläche und die Summe der Längen aller Kanten übereinstimmen?


Hinweis

Ein solches Polyeder existiert beispielsweise unter den korrekten Prismen.


Lösung

Folgen Sie dem Hinweis, suchen Sie nach einem geeigneten Prisma. Das richtige Prisma wird durch die Anzahl bestimmt n Seiten des Basispolygons a und groß h.

Die Summe der Längen aller seiner Kanten ist:

\ [P = 2na + nh. \]

Da das Basispolygon regulär ist, ist sein Bereich, wie es leicht zu finden ist, \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Jetzt ist es einfach, den Rest der Prismenparameter zu finden, die im Problem erscheinen.

Sein Volumen V entspricht:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

Oberfläche S entspricht:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Aus Gleichheit V = S wir finden das \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). Also h > 2. Sie können den Ausdruck für das Volume auch in der Form \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \) neu schreiben.

Aus Gleichheit V = P die Relationen \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) und

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

Es ist klar, dass die Funktion \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) im Intervall \ ((0; \; {+ \ infty}) \) alle positiven Werte (und kein anderer). Daher ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Existenz des gesuchten Prismas: die Erfüllung der Ungleichung \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), was für \ (n> 12 \) gilt.


Nachwort

Mal sehen, was in einer ähnlichen Situation im Flugzeug passiert. Zum Beispiel sind in einem 4 × 4-Quadrat die numerischen Werte der Fläche und des Umfangs gleich. Die gleiche Eigenschaft besitzt ein 3 × 6 Rechteck und ein rechtes Dreieck mit den Schenkeln 5 und 12 (Abb. 1).

Abb. 1.

Wie Sie wissen, ist ein Rechteck keine starre Figur: Wenn Sie Scharniere an seinen Eckpunkten platzieren, werden sie nicht von selbst fixiert (wie es zum Beispiel bei einem Dreieck oder einem Tetraeder der Fall ist). Damit kann gezeigt werden, dass es ein Parallelogramm mit gleichen Werten für Fläche und Umfang gibt. Es ist leicht, ein Rechteck zu finden, dessen Fläche größer als der Umfang ist: ein Rechteck mit den Seiten 8 und 5. Wenn Sie einen der rechten Winkel des Rechtecks ​​von 90 ° auf 0 ° reduzieren, wird das Rechteck sofort zu einem Parallelogramm, der Umfang bleibt 26 und zweitens wird sein Bereich kontinuierlich von 40 auf 0 abnehmen, und an einem gewissen Punkt wird er 26 werden. Dies wird das notwendige Parallelogramm sein. Dieser Prozess wird in einem Rechteckrahmenmodell gezeigt (Fig. 2). Es ist klar, dass solche Parallelogramme unendlich viele sind.

Abb. 2

Wir zeigen, dass es unendlich viele Dreiecke gibt, in denen die numerischen Werte der Fläche und des Umfangs gleich sind.Wir teilen alle Dreiecke in Klassen ein, von denen jede alle ähnlichen Dreiecke enthält. Es stellt sich heraus, dass es in jeder Klasse ein Dreieck gibt, in dem die numerischen Werte der Fläche und des Umfangs gleich sind. Betrachten Sie eines der Dreiecke einer Klasse. Lass sein Gebiet sein S1und der Umfang ist P1dann ein ähnliches Dreieck mit einem Koeffizienten k hat eine Fläche S2 = k2S1 und Umfang P2 = kP1. Wenn als der Koeffizient der Ähnlichkeit nehmen k = P1/S1dann erhalten wir ein Dreieck mit \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Was wurde benötigt.

Nehmen wir zum Beispiel das ägyptische Dreieck. Ihr Umfang ist \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \) und der Bereich \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Ein ähnliches Dreieck mit dem Ähnlichkeitskoeffizienten 2 hat die angegebene Eigenschaft: Es ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln 6 und 8 (Abb. 3, links). Gleichseitige Dreiecke können ebenfalls in Betracht gezogen werden. Unter ihnen hat die notwendige Eigenschaft ein Dreieck mit der Seite \ (4 \ sqrt % \): sein Bereich und Umfang sind gleich \ (12 \ sqrt % \).

Abb. 3

Auf ähnliche Weise kann gezeigt werden, dass in jeder Klasse von ähnlichen Polygonen eine solche existiert, in der die numerischen Werte der Fläche und des Umfangs gleich sind.

Im dreidimensionalen Raum ist es natürlich, eine Bedingung für die Gleichheit des Volumens hinzuzufügen, wie es in der Problemstellung getan wurde.Aus der Lösung wird deutlich, dass nicht jeder "Typ" eines Polyeders die Gleichheit von Volumen, Fläche und Gesamtlänge der Kanten zulässt: unter den richtigen n-Kohlenstoffprismen n <12 gibt es keine.

Insbesondere gibt es keinen solchen Würfel und kein rechteckiges Parallelepiped (weil es sich um vierseitige Prismen handelt). Für solche Polyeder ist es jedoch leicht, eine direkte Überprüfung durchzuführen. Zum Beispiel für einen Würfel ist es so gemacht. Würfel mit Kante a hat ein Volumen V = a3Oberfläche S = 6a2 und die Summe der Kantenlängen P = 12a. Wenn S = P, dann 6a2 = 12a, also a = 2. Aber dann S = P = 24, und V = 8.

Dennoch kann für einige Polyeder eine ähnliche Argumentation wie für das Dreieck funktionieren. Wenn wir alle Polyeder so betrachten, dann wird die Summe der Längen der Kanten proportional zum ersten Grad des Ähnlichkeitskoeffizienten variieren, die Oberfläche wird proportional zum zweiten Grad sein, und das Volumen wird proportional zum dritten Grad sein. Das heißt, die Aufgabe reduziert sich auf diese Frage: überschneiden sich die entsprechenden Linien, Parabeln und Würfel an einem Punkt? Die Änderung der Form des Polyeders in einer solchen Formulierung entspricht den Verschiebungen dieser Kurven in der Ebene.Und es ist ziemlich offensichtlich, dass sie in einigen Fällen so positioniert werden können, dass sie sich an einem Punkt schneiden. Aber ist es möglich, alle relevanten Polyeder irgendwie vernünftig zu beschreiben? … Wenn Sie Ideen zu diesem Thema haben – schreiben Sie in die Kommentare zum Problem!


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