Schildkröte und Achilles • Evgeny Epifanov • Populäre wissenschaftliche Aufgaben zu den "Elementen" • Mathematik

Schildkröte und Achilles

Aufgabe

Achilles ist 1 Meter von der festen Wand entfernt, an der ein Gummiband an einem Ende befestigt ist (wir betrachten Gummi ideal, das heißt, es kann unbegrenzt gedehnt werden). Das andere Ende des Bandes, das Achilles in der Hand hält. In der Nähe der Wand auf dem Band sitzt eine Schildkröte. Zur gleichen Zeit beginnen beide sich zu bewegen: Achilles läuft mit einer Geschwindigkeit von 10 m / s von der Wand und dehnt das Band, und die Schildkröte kriecht mit ihrer eigenen Geschwindigkeit von 10 cm / s in seiner Richtung entlang des Bandes. Wird überholen jemals die Schildkröte der Achilles? Wenn Sie denken, dass die Antwort auf diese Frage ja ist, dann versuche es Schätze die Zeit, die eine Schildkröte braucht.


Hinweis

Die Lösung des Problems kann auf zwei leicht unterschiedliche Arten angegangen werden. Erstens können Sie die Geschwindigkeit der Schildkröte relativ zur Wand in Abhängigkeit von der Zeit berechnen. Wenn ihre Geschwindigkeit irgendwann höher ist als die Geschwindigkeit von Achilles (was sich nicht ändert), dann ist klar, dass sie ihn einholen wird. Zweitens ist es möglich zu berechnen, wie sich der Anteil des Weges, den eine Schildkröte zurückgelegt hat, mit der Zeit ändert.


Lösung

Wir werden sofort zustimmen, dass wir sowohl Achilles als auch die Schildkröte als Punkte betrachten.

Auf den ersten Blick scheint es, dass die Schildkröte keine Chance hat, Achilles aufzuholen – schließlich rennt er so schnell von ihr weg! Aber wenn man darüber nachdenkt, sieht das Kräfteverhältnis nicht mehr so ​​offensichtlich aus.Tatsache ist, dass das Band, auf dem die Schildkröte sitzt, ständig gestreckt ist. Selbst wenn die Schildkröte plötzlich an irgendeinem Punkt stehenbleibt, wird sie sich immer noch von der Wand entfernen. Aber unsere Schildkröte ist ruhelos, sie kriecht unermüdlich nach dem fliehenden Helden, und das bedeutet, dass sie den Anteil des Bandes, das sie vom Ziel trennt, ständig reduziert. Die Frage ist, wie schnell sie es macht.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Antwort auf die Frage, ob die Schildkröte mit Achilles aufholen wird, noch nicht eingetroffen ist. Stellen Sie sich eine Situation vor, in der der Rest des Bandes ständig reduziert wird, aber die Schildkröte holt Achilles nicht ein. Lassen Sie es zunächst in der Mitte des Bandes sitzen (geben Sie ihm einen Vorsprung) und für jede Sekunde genau die Hälfte des verbleibenden Teils des Bandes (alle Messungen werden in Bruchteilen der Bandlänge gemacht, die daher als 1 betrachtet werden kann), trotz der Tatsache, dass relativ zum "stationären Beobachter" das Band wird ständig verlängert). In einer Sekunde wird die Schildkröte auf 3/4 der aktuellen Länge des Bandes sein (was in diesem Moment 11 Meter sein wird), in einer weiteren Sekunde – durch 7/8 usw. Es ist ersichtlich, dass die Schildkröte sich stetig dem Ende des Banddurchlaufs nähert n Sekunden, die sie nur überwinden muss Teil des Bandes, das ist ziemlich viel (zum Beispiel in einer Minute wird die Länge des Bandes 601 Meter sein, und die Schildkröte wird kriechen aus dieser Entfernung, die weniger als ein Nanometer ist). Das Problem ist das weniger als 1, dh zu keinem letzten Zeitpunkt erreicht die Schildkröte das Ende des Bandes.

Gleichwohl, lassen Sie uns berechnen, was in unserer Aufgabe passiert. Wir werden jede Sekunde die Position der Schildkröte auf dem Band fixieren. (Wir können davon ausgehen, dass sich die Achilles einmal pro Sekunde um 10 Meter verschiebt und die Schildkröte nach ihren 10 Zentimetern schleicht. Diese Annahme ändert nichts an dem, was geschieht – wir scheinen den Prozess von Fotos aus zweiten Intervallen zu beobachten.) Durchlassen n Sekunden nach dem Beginn der Bewegung ist die Schildkröte bereits weiter fortgeschritten xn (erinnern Sie sich, dass wir seinen Fortschritt in Anteilen von 1 messen – die volle Länge des Bandes; ganz am Anfang x0 = 0). Wie wird sich ihre Position in einer Sekunde verändern? Zuerst wird das Band auf 10 Meter gedehnt und seine Länge wird 1 + 10 (n + 1) Meter. Gleichzeitig ändert sich der Anteil des Weges, den die Schildkröte zurückgelegt hat, nicht, weil sie sich auch bewegt, während das Band gestreckt ist. Danach kriecht die Schildkröte ihre 10 Zentimeter, was ist von der Länge des Bandes.Holen Sie sich die Abhängigkeit . Sie können eine explizite Formel für erhalten xn+1. Um dies zu tun, ist es in der Formel notwendig, zu allen früheren Mitgliedern der Sequenz zu gehen. Folgendes passiert:

.

Kompakter kann dieser Betrag wie folgt geschrieben werden: . Wir müssen herausfinden, ob diese Menge zu groß ist n passiere 1, und wenn ja, ungefähr was n es wird passieren. Bevor Sie weiterlesen, überprüfen Sie Ihre Intuition: wenn Sie können n xn mehr als 1 sein? (Der erste Term in der Summe ist 1/110, der zweite ist 1/210 usw.)

Also und wir müssen verstehen, wie sich diese Menge mit steigender Tendenz ändert n. Um die weitere Berechnung zu erleichtern, ändern wir die Konditionen in diesem Betrag geringfügig. Wird reduzieren sie ersetzen 1 bis 10: . Natürlich ist die gesamte Menge reduziert. Aber wenn es um diese neue Menge geht, stellt sich heraus, dass es bei einigen ist n wird größer als 1 sein, dann wird das Original für diese auch größer als 1 sein n. Deshalb untersuchen wir x 'n. Schreiben Sie diesen Betrag erneut und verwerfen Sie den letzten Ausdruck (dadurch wird der Wert etwas reduziert): . Wenn wir diese Gleichheit mit 100 multiplizieren und beiden Teilen 1 hinzufügen, erhalten wir auf der rechten Seite der Gleichheit n-I Teilsumme der harmonischen Reihe: . Diese Reihe divergiert – Was auch immer große Zahl Sie planen, mit genügend groß n Teilbeträge dieser Serie sind größer als Ihre Nummer. Insbesondere gibt es solche ndiese Menge wird mehr als 101 sein, das sind 100x 'n + 1> 101, was bedeutet, dass x 'n > 1 bzw. xn > 1.

Also wird die Schildkröte Achilles einholen. Das einzige Problem ist, dass dies sehr bald passieren wird. Nach Eulers Formel ≈ ln n + γ, hier ist ln der natürliche Logarithmus (basierend auf e), und γ ≈ 0,5772 … ist die Euler-Mascheroni-Konstante. Daher wird die Schildkröte Ordnung brauchen e100 ≈ 1044 Sekunden, um mit Achilles aufzuholen (in der Tat ein wenig weniger wegen unserer Schätzungen, aber das wird keinen wesentlichen Fehler machen). Zum Vergleich: Nach modernen Schätzungen beträgt das Alter des Universums etwa 4,3 · 1017 Sekunden


Nachwort

In der Entscheidung trafen wir uns mit zwei Reihen. Die erste – die Summe der zu Zweierpotenzen inversen Zahlen – konvergiert gegen 1. Die zweite war eine harmonische Reihe. Über ihn hat wahrscheinlich jeder gehört, der in der Höheren Schule höhere Mathematik oder den Anfang der mathematischen Analyse passiert hat. Die Divergenz der harmonischen Reihen ist leicht nachzuweisen. Wie wir bereits gesehen haben, divergiert die Serie sehr langsam: Damit die Summe mehr als 100 beträgt, müssen Sie eine sehr große Anzahl von Begriffen verwenden. Dies liegt daran, dass die harmonische Reihe eine "Grenzlinie" in der Konvergenz einnimmt.Wenn Sie Zahlen in den Nennern von Bruchteilen in einer Reihe zu einer Potenz größer als 1 aufbauen, wird eine solche Reihe bereits konvergieren. Zum Beispiel die Zeile konvergiert zu einer (großen) Zahl. Eine Reihe konvergiert zur Zahl . Mehr über all das ist zumindest in Wikipedia besser zu lesen.

Eine weitere bemerkenswerte Aufgabe stellt die Divergenz der harmonischen Reihen dar. Sie können sich im Detail mit der schönen Exposition vertraut machen, die auf der Webseite "Mathematical Etudes" verfügbar ist. Es stellt sich heraus, dass wenn Sie eine ausreichende (sehr große!) Versorgung von Ziegeln haben, dann können Sie eine Leiter von beliebig großer Länge bauen, in der jeder Schritt genau ein Ziegelstein ist.

Eine interessante Geschichte ist mit einer ähnlichen Aufgabe über eine Gummiband verbunden. Es wurde einer Notiz von Akademiemitglied L. B. Okun in drei Episoden entnommen, die seinen Treffen mit A. D. Sacharov gewidmet war (veröffentlicht in der Zeitschrift Priroda, Nr. 8, 1990). Hier ist die Passage:

21. Juli 1976 Aragvi Restaurant in Tiflis, wo das Galadinner der Teilnehmer der Internationalen Konferenz über Hochenergiephysik stattfindet (XVIII in der Reihe der sogenannten Rochester-Konferenzen). Viele lange Tische. Ich war in der Nähe von einem von ihnen in der Nähe von Andrei Dmitrievich das Gespräch änderte stochastisch die Richtung.Irgendwann über die Aufgaben für den Einfallsreichtum sprechen. Und dann habe ich Andrei Dmitrievich das Problem eines Wanzens auf einem idealen Gummi vorgeschlagen. Sein Wesen ist wie folgt.

Ein Gummikabel mit einer Länge von 1 km ist an einem Ende an der Wand und das andere in der Hand befestigt. Der Bug beginnt mit einer Geschwindigkeit von 1 cm / s an der Schnur von der Wand zu Ihnen zu kriechen. Wenn er den ersten Zentimeter kriecht, verlängern Sie den Gummi um 1 km, wenn er den zweiten Zentimeter kriecht – noch einmal 1 km und so weiter. Die Frage ist: Wird der Bug zu dir kriechen, und wenn er kriecht, wie lange?

Vor und nach diesem Abend habe ich diese Aufgabe verschiedenen Leuten gegeben. Man brauchte etwa eine Stunde, um es zu lösen, ein anderer Tag, andere blieben fest davon überzeugt, dass der Käfer nicht kriechen würde, und die Zeitfrage wurde gestellt, um es auf die falsche Fährte zu bringen.

Andrei Dmitrievich wiederholte den Zustand des Problems und bat um ein Stück Papier. Ich gab ihm meine Einladungskarte für das Bankett, und er schrieb sofort eine Lösung für das Problem auf der Rückseite ohne Kommentare. Es hat ungefähr eine Minute gedauert. "


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