Teilung der Pythagoreischen Hosen • Nikolay Avilov • Populäre Wissenschaftsprobleme auf den "Elementen" • Mathematik

Pythagoreische Hosenabteilung

Aufgabe

An den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind drei Quadrate angebracht. Dieses lange bekannte Bild wird manchmal "pythagoreische Hose" genannt. Bauen (Kompass und Lineal) ein weiteres Quadrat, so dass es die Fläche von jedem der Quadrate der pythagoräischen Hosen in zwei Hälften geteilt.


Tipp 1

Ein Beispiel für eine geeignete quadratische Anordnung ist in Abb. 1.

Abb. 1.


Tipp 2

Die gerade Linie, die durch die Mitte des Quadrats verläuft, teilt sie in zwei Hälften.


Lösung

Wenn dieses rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist, dann ist das Problem ganz einfach gelöst. Daher nehmen wir an, dass seine Beine anders sind.

Wie es oft bei der Lösung von Konstruktionsproblemen getan wird, lassen Sie uns mit einer Analyse beginnen: Wir untersuchen die Situation, in der das erforderliche Quadrat bereits konstruiert ist. Also ein rechtes Dreieck geben ABC mit Beinen BC = a und Wechselstrom = b (Ohne Verlust der Allgemeinheit glauben wir das a > b) und Hypotenuse AB = can deren Seiten die Quadrate gebaut sind. Lass es Oh1 und Oh2 – die Zentren der auf den Beinen gebauten Quadrate (Abb. 2). Platziere das gewünschte Quadrat KFMN so auf seiner Seite KN und KF durch die Punkte gegangen Oh1 und Oh2 parallel zu den Beinen a und bjeweils. Dann oben M dieses Quadrat liegt auf der Winkelhalbierenden FKN. Es bleibt übrig, die Position des Punktes zu bestimmen M auf dieser Winkelhalbierenden, da die Fläche des Pentagons ABEMP muss gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats mit der Seite sein c (also (a2 + b2) / 2). Lass es P und E – Schnittpunkte von Segmenten Mf und MN mit den entsprechenden Seiten dieses Quadrats.

Abb. 2

Drop-Drops: MH auf AB, PL und ET auf MH. Dann \ (\ Winkel EMT = \ Winkel MPL = \ Winkel ABC = \ beta \).

Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein xAy. Lass Punkt M hat Koordinaten (x, y), dann gilt die Gleichheit Ah = PL = x, MH = y. Im Dreieck PML wir haben \ (ML = x \ mathrm % \, \ beta = xb / a \), \ (AP = HL = y-xb / a \). Da \ (TE = BH = c-x \), dann im Dreieck EMT wir haben: \ (MT = (c-x) \ mathrm % \, \ beta = (c-x) \ frac ab \), dann \ (BE = HT = y- (c-x) \ frac ab \).

Pentagon-Bereich ABEMP ist die Summe der trapezförmigen Flächen APMH und BEMH. Daher ist sein Bereich (der gleich \ (\ frac {c ^ 2} 2 \) sein muss) gleich der Summe von \ (\ frac12 (AP + MH) \ cdot AH + \ frac12 (BE + MH) \ cdot BH \). Nach Substitutionen erhalten wir eine wichtige Gleichung:

\ [\ dfrac {c ^ 2} 2 = \ dfrac12 (2y- \ dfrac % a) x + \ dfrac12 (2y- (c-x) \ dfrac ab) (c-x). \]

Lass es Q – die Mitte der Hypotenuse AB. Da die Entfernung von dem Punkt Q zu jedem der geraden KN und KF ist dann \ ((a + b) / 2 \) Q – Schnittpunkt KM und AB. Daher das Segment Kq parallel zur Winkelhalbierenden C Dreieck ABCDas heißt, es bildet mit der positiven Richtung der Achse einen Winkel \ (45 ^ \ circ + \ beta \) x. Dann ist sein Winkelkoeffizient \ (\ mathrm % \, (45 ^ \ circ + \ beta) = \ frac {\ mathrm % \, 45 ^ \ circ + \ mathrm % \, \ beta} {1- \ mathrm % \, 45 ^ \ circ \ mathrm % \, \ beta} = \ frac {a + b} %. \)

In Anbetracht dieses Punktes Q hat Koordinaten (c/ 2, 0) erhalten wir die Gleichung dieser Linie:

\ [y = \ dfrac {a + b} {a-b} x- \ dfrac {c (a + b)} {2 (a-b)}. \]

Wenn wir ein System lösen, das aus dieser Gleichung einer direkten und wichtigen Gleichung besteht, finden wir diesen Punkt M hat folgende Koordinaten:

\ [M \ links (\ dfrac % % (cb \ sqrt2), \, \ dfrac {a + b} {2 (ab) ^ 2} (c (a + b) -2ab \ sqrt2) \ rechts).

Jetzt können Sie mit der Konstruktion fortfahren, die in wenigen einfachen Schritten durchgeführt wird:
1) Erstellen Sie einen rechten Winkel mit dem Scheitelpunkt Kderen Seiten durch Punkte gehen Oh1 und Oh2 parallel zu den Dreiecksbeinen ABC.
2) Bauen Sie die Winkelhalbierende dieses Winkels auf, sie verläuft durch die Mitte Q Hypotenuse AB.
3) An der Hypotenuse AB baue einen Punkt H so dass \ (AH = \ Frac % {a-b} (c-b \ sqrt2) \). Grundstücksaufbau Ah ist auf die Konstruktion der vierten proportional für die Segmente reduziert a, \ (a-b \) und \ (c-b \ sqrt2 \)
4) Durch den Punkt H Wir zeichnen eine gerade Linie senkrecht zur Hypotenuse AB. Punkt M ist der Schnittpunkt dieser Senkrechten und Kq.
5) Von dem Punkt M zeichne Strahlen Mf und MNjeweils parallel zu den Seiten eines rechten Winkels mit Scheitelpunkt K.


Nachwort

Built Square ist nicht der einzige. Tatsächlich gibt es unendlich viele solcher Quadrate. Zeig es.

Offensichtlich ist es möglich, unendlich viele rechte Winkel zu konstruieren, deren Seiten durch die Zentren der auf den Beinen gebauten Quadrate verlaufen: ihre Scheitelpunkte liegen auf einem Kreis mit einem Durchmesser Oh1Oh2. In diesem Fall sollten die Scheitelpunkte auf dem Bogen liegen, der außerhalb der beiden Quadrate liegt und auf den Beinen (und "dazwischen") aufgebaut ist. Betrachten Sie einen dieser Winkel (in Abbildung 3 ist dieser Winkel rot gezeichnet). Wir konstruieren ein Quadrat, dessen zwei Seiten an den Seiten dieses Winkels liegen. Es ist klar, dass dann einer der Eckpunkte dieses Quadrats auf der Winkelhalbierenden liegt. Auf der linken Seite in Abb. 3 zeigt das kleinste derartige Quadrat. Es ist zu sehen, dass seine Seiten durch die Fläche der Quadrate, die auf den Beinen aufgebaut sind, in zwei Hälften geteilt sind, und einer seiner Gipfel auf der Seite des kleineren Quadrats liegt. In diesem Fall sind die Seiten des roten Quadrats von dem Quadrat abgeschnitten, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, einem Fünfeck mit einer Fläche von etwas mehr als einem Viertel seiner Fläche.

Abb. 3

Wenn wir jetzt das rote Quadrat "aufblähen" und seine Seite vergrößern, dann wird die Fläche des zu schneidenden Fünfecks kontinuierlich auf einen Bereich nahe drei Viertel der Fläche des an der Hypotenuse gebauten Quadrats zunehmen. Gleichzeitig stimmt einer der Eckpunkte des Trennquadrats mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite des Quadrats überein, das auf der Hypotenuse aufbaut (rechtes Bild in Abb. 3). In Anbetracht der Kontinuität der Gebietsfunktion kann dies gemäß dem Satz von Bozen-Cauchy festgestellt werdendass es eine Seitenlänge des Trennquadrats gibt, bei der die Fläche des Fünfecks gleich der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse gebildeten Quadrats ist.

Dadurch ist es möglich, Dreiecken, bei denen die Länge der Beine wenig voneinander abweichen, eine einfachere Konstruktion zu geben.

Betrachten Sie diese Konstruktion und begrenzen Sie die Analyse. Das Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, teilen wir in 16 gleiche Quadrate (Abb. 4). Vom Knoten M in einem Winkel von 45 ° verbringen die Strahlen senkrecht zueinander Mf und MN. Durch die Zentren Oh1 und Oh2 Quadrate auf den Beinen gebaut, zeichnen wir gerade Linien FK und NKparallel zu den Strahlen MN und Mfjeweils. Werde quadratisch MNKFdie Hälfte der Fläche jedes der drei Quadrate von "pythagoreischen Hosen" geteilt. Überzeugen Sie sich selbst.

Abb. 4

Diese Aufgabe wurde beim 13. Kreativwettbewerb der Mathematiklehrer in Russland vorgeschlagen. Die Teilnehmer des Wettbewerbs fanden heraus, dass eine solche Konstruktion nicht für alle rechtwinkligen Dreiecke möglich ist, sondern nur für solche mit \ (\ mathrm % \, \ angle A \), dh das Verhältnis des größeren Beins zum kleineren übersteigt nicht die Zahl t0 = 1,8393 …, das ist die irrational Wurzel der Gleichung \ (t ^ 2-t ^ 2-t-1 = 0 \). Oben K das Teilen eines Quadrats fällt auf die Grenze eines Quadrats, das auf einem größeren Bein gebaut ist, wenn \ (\ mathrm % \, \ angle A = t_0 \). Wenn \ (\ mathrm % \, \ angle A> t_0 \), dann der Scheitelpunkt K das Teilungsquadrat fällt innerhalb des Platzes, auf einem größeren Bein gebaut, und dann ist die Fläche dieses Quadrats nicht in zwei Hälften geteilt.

Zusammenfassend möchte ich hinzufügen, dass die Aufgabe als Analogon einer merkwürdigen Tatsache entstand, als sie das Buch "Mathematisches Kaleidoskop" des polnischen Mathematikers G. Steinhaus las. Darin argumentiert er, dass es einen Kreis in der Ebene gibt, der die Bereiche von drei Regionen beliebiger Form halbiert und ein Beispiel für einen solchen Kreis auf einer geografischen Karte gibt, die drei Formen, die die Umrisse von Österreich, Polen und Rumänien sind, in gleiche Teile teilt. Ich erinnerte mich an die drei Quadrate von "Pythagoreischen Hosen" und ersetzte den Kreis durch das vierte Quadrat. Ich formulierte das vorgeschlagene Problem.


Like this post? Please share to your friends:
Schreibe einen Kommentar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: