Papierblattarithmetik

Papierblattarithmetik

Evgeny Smirnow
"Quantic" №1, 2017

Nehmen Sie das übliche weiße Blatt Papier – das Format, das für die meisten Drucker geeignet ist und A4 heißt. Auf einem Stapel Papier (oder in Wikipedia oder in den Einstellungen des Druckers) steht geschrieben, dass dieses Blatt eine Länge von 297 Millimetern und eine Breite von 210 hat. Woher kamen solche seltsamen Zahlen? Und wo im Namen des Formats vier?

Schauen wir uns das alles in der Reihenfolge an. Es stellt sich heraus, dass es andere Papierformate gibt, in deren Titel der Buchstabe A von A0 bis A6 steht. Das Blatt jedes folgenden Formats wird als die Hälfte des Blattes des vorherigen Formats erhalten. Zum Beispiel wird Blatt A5 erhalten, wenn Sie A4-Blatt in die Hälfte falten. Umgekehrt, wenn Sie zwei A4-Blätter entlang der langen Seite kleben, erhalten Sie ein A3-Blatt (einige große Drucker können auf solchen Blättern drucken). Wenn zwei A3-Blätter miteinander verbunden sind, erhalten wir Blatt A2 – auf diesem Papiertyp werden normalerweise Zeitungen gedruckt. Von zwei Blättern A2 wird das Blatt A1 und von zwei Blättern A1 – Blatt A0 erhalten. Vielleicht haben Sie dickes Zeichenpapier gesehen – die sogenannten Whatman-Papierblätter; Sie haben nur das Format A0, und so kann jedes dieser Blätter in 16 A4-Blätter geschnitten werden, die vertikal und horizontal in 4 gleiche Teile geteilt werden.

Alle diese Blätter haben eine bemerkenswerte Eigenschaft: Sie sind ähnliche Rechtecke. Mit anderen Worten, das Verhältnis von Länge zu Breite jeder dieser Lagen ist gleich. Aus diesem Grund können zwei A4-Seiten in einem Papierformat zusammengefaßt werden, wobei die Länge und Breite ein und dieselbe Anzahl reduziert und die Originalseiten in das A5-Format übersetzt werden (in den Einstellungen der meisten Drucker können Sie die Option "zwei Seiten auf eins drucken" angeben). wenn Sie großen Text drucken müssen und Papier oder Tinte sparen möchten. Von hier aus können Sie das Verhältnis der Parteien finden, wenn Sie einen einfachen Anteil schreiben:

Länge A4 Breite A4 = Länge A5 Breite A5

und gleichzeitig daran erinnern, dass die Länge des Blattes A5 die gleiche wie die Breite von A4 ist und die Breite von A5 gleich der Hälfte der Länge von A4 ist.

Es stellt sich heraus, dass

Länge A4 2 Breite A4 2 = 2,

das heißt, das Verhältnis der Seiten des A4-Blattes (und damit der Blätter aller anderen Formate von A0 bis A6) sollte gleich der Wurzel der beiden sein – etwa 1,414213562 …

Die Wurzel von zwei ist eine irrationale Zahl, dh nicht gleich dem Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Und aus technologischen Gründen wollen die Seitenlängen der Papierbögen immer noch eine ganze Anzahl von Millimetern ausdrücken.Daher ist das Verhältnis 297/210, was gleich 99/70 = 1,4142857 … Wie wir sehen können, ist dieser Bruchteil sehr nahe bei 2 – diese Zahlen divergieren nur in der fünften Dezimalstelle und unterscheiden sich nur um fünf Tausendstel!

Wir haben uns also mit der Haltung der Parteien auseinandergesetzt. Aber warum ist die Breite des Blattes genau 210 Millimeter, und sagen wir, nicht 200 und nicht 220? Es stellt sich heraus, dass die Längen der Seiten genau so gewählt wurden, dass das Blatt des A0-Formats (das größte in dieser Reihe von Formaten) eine Fläche von einem Quadratmeter hatte. Gemäß der internationalen Norm ISO 216 beträgt die Länge und Breite des Bogens A0 1189 mm bzw. 841 mm. Ein Quadratmeter ist eine Million Quadratmillimeter, und ein Produkt von 841 und 1189 ergibt 999 949, was fast einer Million entspricht.

Das Verhältnis der Länge und Breite des Papierblattes, gleich der Wurzel der beiden, wurde bereits 1786 vom deutschen Wissenschaftler Georg Christoph Lichtenberg vorgeschlagen und wurde erstmals in Frankreich am Ende des 18. Jahrhunderts verwendet. Jetzt ist es auf der ganzen Welt verbreitet, außer in den USA und Kanada, wo es üblich ist, Papier der sogenannten zu verwenden Briefmit einem Seitenverhältnis von 8,5 × 11 Zoll – ungefähr 216 × 279 mm. Dieses Blatt ist etwas breiter und kürzer als das A4-Blatt, an das wir gewöhnt sind.Aber woher genau dieses Verhältnis kam, weiß der Autor nicht …

Aufgabe

Erstellen Sie ein rechteckiges Parallelepiped, das in zwei ähnliche Parallelepipeden geteilt werden kann (mit dem gleichen Verhältnis von drei Seiten). (Übrigens, wenn Sie solche Paketkästen machen, wird es einfach sein, sie fest im Postauto zu platzieren und, falls notwendig, eine größere Kiste durch zwei kleinere zu ersetzen.)

Alexander Borun

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