"Hard" Tilings • Khaidar Nurligareev • Beliebte wissenschaftliche Aufgaben zu "Elementen" • Mathematik

„Hard“ Fliesen

Aufgabe

Es ist einfach, die Ebene mit identischen dreieckigen Kacheln zu kacheln (Abb. 1, links). Ein solches Schema ist für jedes Dreieck geeignet. Wir können sagen, dass diese Kachelung "nicht-starr" in dem Sinne ist, dass, wenn wir die Proportionen der Dreiecke leicht ändern (sie müssen immer noch gleich sein), dann wieder eine Kachelung der Ebene nach diesem Schema erhalten wird (1, rechts).

Abb. 1.

Aber es passiert auf andere Weise. Schau dir das Bild an. 2: Auch hier sind alle Dreiecke gleich, aber dieses Schema funktioniert nur für ganz bestimmte Proportionen von Dreiecken. Wir können sagen, dass ein solches Kippen "hart" ist.

Abb. 2

a) Angenommen, alle Dreiecke in Abb. 2 sind gleich finden ihre Winkel und Seitenverhältnisse. Beweisen Sie esdass sie von der Figur eindeutig bestimmt sind.

b) Komm mit "harte" Kachelung gleicher konvexer Vierecke.

c) Komm mit "harte" Fliesen von gleichen Fünfecken (nicht notwendigerweise konvex).


Tipp 1

a) Um die Bedingung zu erhalten, dass die Winkel des Dreiecks genügen müssen, ist es ausreichend, die Tatsache zu verwenden, dass die Summe der Winkel, die zu jedem Eckpunkt benachbart sind, 360 ° beträgt. Um nach Bedingungen an den Seiten zu suchen, ist es nützlich, Segmente zu betrachten, die von mehreren Seiten benachbarter Dreiecke gebildet werden.

Beachten Sie, dass die Winkel und Seiten sich nicht unabhängig voneinander ändern können, sie sind miteinander verbunden. Darüber hinaus ist die Beziehung zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen eins zu eins. Wenn Sie das Seitenverhältnis kennen, können Sie die Werte der Winkel mit dem Kosinussatz bestimmen. Und wenn Sie die Winkel kennen, können Sie das Seitenverhältnis durch das Sinus-Theorem finden. Um das Problem zu lösen, genügt es also, nur zwei Gleichungen an den Seiten oder Winkeln zu finden.


Tipp 2

b), c) Die Grundidee ist wie folgt. Damit die Fliesen "hart" sind, müssen die darin enthaltenen Kopien derselben Fliese auf möglichst viele Arten miteinander in Kontakt stehen. Dann wird jede solche Methode eine Gleichung für die Winkel und Seiten geben, und je mehr Gleichungen – desto weniger Freiheitsgrade.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine solche Kachel zu konstruieren, von denen Kopien auf unterschiedliche Weise aufeinander angewendet werden können. Eine davon ist, der Fliese einige charakteristische Beschränkungen aufzuerlegen. Suchen Sie beispielsweise in der Klasse der Polygone mit parallelen Seiten nach ihr. Oder zwischen den Fliesen, welche Seiten gleich sind. Es kann auch eine gute Idee sein, Winkel zu betrachten, die 360 ​​° teilen und Vielfache von ihnen sind.

Ein anderer möglicher Weg besteht darin, zu versuchen, bereits bekannte Pflasterungen zu verwenden, beispielsweise wie in Fig. 3 gezeigt. 3. Dann müssen Sie versuchen, eine neue Kachel aus mehreren Kacheln oder Teilen von Kacheln zu erstellen, die in der Originalpflasterung enthalten sind. Und erst dann aus den Kopien der entstandenen Kachel das "harte" Pflaster legen, in dessen Konturen die ursprüngliche Pflasterung vermutet wird.

Abb. 3


Lösung

a) Bezeichnen Sie die Seiten und Ecken einer dreieckigen Kachel wie links in Abb. 4. Die Betrachtung des Segments, das durch die Seiten von vier Dreiecken (in der Mitte in Fig. 4) gebildet wird, erlaubt uns, ein Verhältnis zu den Seiten zu erhalten: a + c = 2b. Betrachtet man die Spitze, in der drei Dreiecke konvergieren (rechts in Abb. 4), verstehen wir, dass 2γ = 180 °. Somit ist γ = 90 °, das heißt, das Dreieck ist rechteckig. Daher erfüllt es den Satz des Pythagoras: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Abb. 4

Nun, um die gewünschten Beziehungen zu finden, ganz einfache Berechnungen:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Von hier kommen wir

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rechter Pfeil \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rechter Pfeil \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Dementsprechend sind die Winkel des Dreiecks gleich \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

b) Betrachten wir ein rechteckiges Trapez, das aus einem Quadrat und einem rechtwinkligen Dreieck besteht, das der Hälfte dieses Quadrats entspricht (Abb. 5, links). Kopien dieses Trapezes können auf viele verschiedene Arten aneinander befestigt werden.Da der resultierende Belag zunächst "hart" sein soll, müssen wir solche Konfigurationen aus den angegebenen trapezförmigen Kacheln machen, die die Relationen der Seiten und die Winkel des Trapezes eindeutig definieren. Das ist einfach zu erreichen. Zum Beispiel werden die in 4 gezeigten Figuren von vier Kacheln zusammengesetzt. 5, erhalten wir die Gleichheit γ = δ = 90 °, und nachdem wir ein Kreuz von acht Kacheln gemacht haben, erhalten wir die Bedingung α = 45 °. Wenn aus drei Kacheln die in Abb. 5 rechts, dann Gleichheit 2a = b.

Abb. 5

Offensichtlich, wenn ein Viereck die obigen vier Gleichheiten erfüllt, dann stellt es sicherlich unser rechteckiges Trapez dar. Daher erweist sich jede Verlegung, bei der alle oben erwähnten Konfigurationen auftreten, als "hart" in dem Sinne, dass es gemäß dem gleichen Schema nicht möglich ist, die Verkleidung von irgendeinem anderen Viereck zu falten. Es gibt unzählige ähnliche Pflasterungen; zum Beispiel ist das die Fliesen, die in Abb. 2 gezeigt werden. 6

Abb. 6

Beachten Sie, dass obwohl die Fliesen in Abb. 6 nach unserer Definition von "hart" ist es leicht zu verformen: Sie können die Fliesen frei bewegen,in derselben horizontalen oder vertikalen Reihe entlang der entsprechenden geraden Linie angeordnet. Dies kann vermieden werden, indem Sie sie auf andere Weise hinzufügen. Zum Beispiel, wie in Abb. 7

Abb. 7

c) Im Kern der in Abb. 6 und fig. 7, können Sie das Standardparkett von Quadraten erraten (Abb. 3, rechts). Wir werden zeigen, wie man auf ähnliche Weise ein "hartes Bild" von nichtkonvexen Fünfecken erhalten kann, indem man Fliesen mit regelmäßigen Dreiecken als Basis verwendet (Abb. 3, links). Nimm dafür ein aus zwei regelmäßigen Dreiecken und zwei weiteren Hälften solcher Dreiecke bestehendes Plättchen (Abb. 8, links).

Abb. 8

Wie im vorherigen Abschnitt geben wir zuerst vier Konfigurationen an, die die Kachel definieren, die wir eindeutig betrachten. Sie sind in Abb. 8. Der erste setzt den Winkel ε = 90 °. Die Sekunde erlaubt Ihnen, die Beziehung 3γ + 2ε = 360 ° zu schreiben, und da der Winkel ε bereits fest ist, erhalten wir γ = 60 °. In ähnlicher Weise ergibt die dritte Konfiguration die Gleichheit α + γ + 3ε = 360º, woher α = 30º. Schließlich erlaubt die letztere Konfiguration zu verstehen, dass β + 2γ = 360 °, das heißt β = 240 °. Was den Winkel δ betrifft, wird er basierend auf der Tatsache bestimmt, dass die Summe der Winkel des Pentagons 540 ° und δ = 120 ° ist.

Abb. 9

Es stellt sich heraus, dass nur die in der Mitte in Abb. 8, genug für die Gleichheit b = e = a = d. Daher definieren die obigen vier Konfigurationen die fünfeckige Kachel eindeutig. Es bleibt also ein Beispiel für eine Kachel, die alle einschließt. Bei der Konstruktion hilft die Idee, Streifen zu konstruieren: Zunächst erzeugen wir mit Kopien unserer Fliesen einen unendlichen Streifen, der auf sich selbst aufgebracht werden kann (Abb. 9). Und dann decken wir das ganze Flugzeug mit solchen Streifen ab (Abb. 10). Wir bemerken die breite Anwendbarkeit der Idee, Streifen zu entwerfen: eine ähnliche "gestreifte" Struktur hat beide Tilings, die wir beim Lösen des Punktes gebaut haben b)und im allgemeinen besteht jede periodische Pflasterung aus Bändern. Der Fall ist jedoch nicht auf periodische Tilgungen beschränkt (wie beispielsweise bei dem Problem Polamimina Parqueta beobachtet werden kann).

Abb. 10

In unserem Beispiel ist die Fliese nicht konvex, aber dies ist absolut keine Voraussetzung, um ein "hartes Pflaster" zu erzeugen. Betrachten Sie die fünfeckige Fliese in Abb. 11 – es besteht aus einem Quadrat und zwei rechten Dreiecken mit einem kleineren Winkel von 22,5 °.Es stellt sich heraus, dass Kopien einer solchen Kachel auch in einer "harten" Ebene gekachelt werden können, wie rechts in Abb. Es stimmt, das ist etwas schwieriger zu beweisen als die "Starrheit" der Pflasterungen, auf die wir früher gestoßen sind. Lassen Sie uns dennoch die Hauptpunkte dieses Beweises skizzieren.

Abb. 11

Aus dem Schema, nach dem die Fliesen gestapelt sind, ist klar, dass die Seiten die Beziehungen erfüllen a = e = b und c = b + d. Für die Ecken können vier Gleichungen zusammengestellt werden, aus denen klar ist, dass α = γ, δ = ε, β + δ = 180º und β + 180º = 2γ. Daher können wir durch Eingabe des Winkels φ = δ / 2 die anderen Winkel dadurch ausdrücken:

\ [\ alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Jetzt ist die Hauptidee wie folgt. Damit die Fliesen "hart" sind, müssen ihm Freiheitsgrade fehlen. Momentan hat unsere Kachel zwei Parameter, die wir variieren können: Winkel φ und Seitenverhältnis a und d. Diese Änderungen können jedoch nicht beliebig sein, da die Parameter miteinander in Beziehung stehen. Wenn wir nach der Analyse der Natur dieser Verbindung zeigen, dass für dieses Schema nur eine endliche Anzahl von möglichen Winkeln und Seitenverhältnissen realisiert wird, folgt unmittelbar, dass die gewünschte Kachelung "hart" ist.

Wir führen die Notation wie unten links in Abb. 11. Weil CDEF – gleichseitiges Trapez, dann Basis

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Daher können wir das Verhältnis der Segmente finden a und dein Segment ausdrücken Bf nach dem Kosinussatz in Dreiecken ABF und CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformieren, wir bekommen

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ var- phi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Auf der anderen Seite können wir das Verhältnis der Segmente finden a und dein Segment ausdrücken Wechselstrom nach dem Kosinussatz in Dreiecken ABC und AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Wenn \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), das heißt, wenn das Pentagon sich von unserem unterscheidet, kommen wir zu der folgenden Gleichung:

\ [\ dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Insbesondere kann man hier sehen, dass dies nur mit \ (\ cos2 \ varphi <0 \) möglich ist, und

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Die letzte Gleichung kann nur eine endliche Anzahl von Lösungen haben. Daher ist die fragliche Pflasterung "hart".


Nachwort

Alle oben im Zusammenhang mit dieser Aufgabe besprochenen Bodenbeläge verwendeten im Grunde eine einzige polygonale Fliese. Wir haben diese Kachel kopiert und dann das ganze Flugzeug mit Kopien ohne Lücken und Überlagerungen bedeckt. Solche Tilings werden genannt einförmigund das zugrunde liegende Polygon ist Protoplitka. Wie wir gesehen haben, waren die resultierenden Bilder trotz des Verbots, Kacheln verschiedener Typen zu verwenden, sehr unterschiedlich. In vielen Fällen erweisen sich die Pflasterungen mit diesem Protopliten als unendlich zahlreich – ihre unzählbare Anzahl. Für andere Protoplices (wie zB für ein regelmäßiges Sechseck) ist das Kacheln einzigartig und einige Protoplits erlauben überhaupt kein Kacheln.

Es wäre natürlich, zu fragen, wie man durch die Form eines gegebenen Polygons verstehen kann, ob es möglich ist, ein Flugzeug mit seinen Kopien zu kacheln. Jedoch ist der Algorithmus, der erlauben würde, diese Frage zu beantworten, eine Kachel am Eingang erhalten, und am Ausgang, der das Ergebnis "ja" oder "nein" ergibt, der Menschheit unbekannt. Darüber hinaus gibt es ernsthafte Gründe zu bezweifeln, dass es im Prinzip existiert. Wir werden kurz diskutieren, was dies beeinträchtigen könnte. Dazu wird es nützlich sein, die Gruppe der Tilgungssymmetrien zumindest oberflächlich kennenzulernen.

Symmetrie Diese Kachelung nennt man eine solche Bewegung der Ebene, die diese Kacheln in sich selbst übersetzt. Grob gesagt, wenn du lange auf das Kippen geschaut hast, dann hast du dich abgewandt,aber jemand hinter deinem Rücken hat alle Steine ​​bewegt, so dass erstens die Abstände zwischen den Steinen erhalten bleiben und zweitens du dich umdrehst und den Unterschied nicht findest – das ist Symmetrie. Wenn in der Menge aller Symmetrien einer Kachelung zwei ungerichtete parallele Translationen vorkommen, wird diese Kachelung aufgerufen periodisch. Zum Beispiel die Fliesen in Abb. 6, 7, 10 und 11, und tatsächlich alle Tilgungen, die wir bis jetzt besprochen haben. In all diesen Beispielen ist es jedoch einfach, die Kacheln neu anzuordnen, sodass diese Eigenschaft nicht mehr gültig ist.

Periodische Tilings zeichnen sich durch das Vorhandensein der sog grundlegender Bereich – eine solche Teilmenge von Fliesen, dass alle Pflaster durch parallele Übertragungen dieser Teilmenge erhalten werden können (dies sind nur unsere "Bänder", die in der Entscheidung erwähnt wurden). Wenn man also versucht, die Frage zu beantworten, ob es möglich ist, die gesamte Ebene mit Kopien dieser Protoplica zu pflastern, ist es ziemlich natürlich, wie folgt zu handeln. Es ist notwendig, alle möglichen Optionen durchzugehen, die Fliesen miteinander zu verbinden, und wenn irgendwann ein grundlegender Bereich entstanden ist, dann gibt es einen Fliesenbelag.Und wenn wir alle Optionen auflisten, aber wir finden keinen grundlegenden Bereich, dann erlaubt diese Proto-Kachel keine Kachelung.

Diese Suchmethode hat jedoch einen wesentlichen Nachteil. Plötzlich stellte sich heraus, unsere Protoplica zu sein aperiodischdas heißt, es ist möglich, die gesamte Ebene mit ihren Kopien zu pflastern, aber alle diese Anordnungen sind nicht-periodisch? Dann werden wir alle Wege, die Fliesen zu verbinden, nie durchmachen, weil sie ein Stück von beliebig großer Größe bedecken können. Aber wir werden auch kein grundlegendes Gebiet finden können, da es kein periodisches Tiling gibt. Also werden wir die Optionen bis zur Unendlichkeit durchgehen und niemals aufhören.

Ob es aperiodische Protoplite gibt, ist derzeit nicht sicher bekannt – dies wird postuliert Conway-Hypothese noch nicht bewiesen. Es besteht also immer noch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass der obige Algorithmus es uns erlaubt, die Frage zu beantworten, ob es möglich ist, eine Pflasterung basierend auf diesem Protopliten zu konstruieren oder nicht. In einem dreidimensionalen Raum wurde eine ähnliche Hypothese aber auch auf der Lobatschewski-Ebene positiv gelöst. Außerdem kostet es uns, die Anzahl der verwendeten Protoplices auf zwei zu erhöhen, da wir sofort ein Beispiel für eine aperiodische Menge entdecken – das berühmte Penrose-Mosaik (Abb. 12).

Abb. 12 Penrose-Mosaik.Bild von ru.wikipedia.org

Wenn es keine Gewissheit gibt, ob es immer möglich ist, von einem gegebenen Ziegel zu verstehen, ob es das Pflastern des Flugzeugs zulässt oder nicht, sollten Sie versuchen, einen weniger allgemeinen Fall zu betrachten und dem Protoplikat irgendwelche Beschränkungen aufzuerlegen. Als erstes nehmen wir an, dass alle Polygone, aus denen die Kacheln bestehen, konvex sind. Diese Bedingung stellt sich als ziemlich stark heraus: es stellt sich heraus, dass die Anzahl der Seiten eines konvexen Proto-Ziegels, der Pflasterung zulässt, 6 nicht übersteigt. Jedoch gibt es auch hier ernsthafte Schwierigkeiten.

Abb. 13

Es ist leicht sicherzustellen, dass das ganze Flugzeug mit Kopien eines beliebigen Dreiecks sowie mit Kopien eines beliebigen Vierecks bedeckt werden kann – hier wird sogar der Konvexitätszustand nicht benötigt (Abb. 13). Bei Fünfecken ist jedoch alles nicht so einfach. Das Studium der Einecksbefestigungen durch Fünfecke hat eine reiche Geschichte, und selbst jetzt gibt es keine vollständige Gewissheit, dass diese Aufgabe ihre logische Schlussfolgerung gefunden hat. Anscheinend klassifizierte Carl Reinhard 1918 erstmals fünf Arten von konvexen fünfeckigen Pflasterungen (Abb. 14). Jeder Typ war durch bestimmte Bedingungen an den Seiten und Ecken gekennzeichnet, die jedoch eine gewisse Freiheit übrig ließen – alle diese Bodenbeläge waren "nicht-starr".Ein halbes Jahrhundert später, im Jahr 1968, informierte Richard Kirchner die Welt über die Entdeckung von drei weiteren Arten von Bodenbeläge und behauptete, dass mit diesen acht Typen alles erschöpft sei. Er stellte sich jedoch als falsch heraus: 1975 fand Richard James nach der Lektüre eines Artikels des bekannten Popularisators der Wissenschaft, Martin Gardner, einen anderen Typus. Ein wahrer Durchbruch in den nächsten zwei Jahren war jedoch die Hausfrau Marjorie Rice, die den gleichen Artikel las – es gelang ihr, vier neue Arten von Einflächendekorationen mit konvexen Fünfecken zu finden.

Abb. 14 15 einflächige Planierungen der Ebene durch Fünfecke. Bild von forbes.com

Die Geschichte endete jedoch nicht dort: Das vierzehnte Pflaster wurde 1985 von Rolf Stein gefunden – im Gegensatz zu allen vorherigen war es "hart". Und dreißig Jahre später entdeckte eine Gruppe von Forschern, bestehend aus Casey Mann, Jeniffer MacLeod und David von Durey, mit Hilfe von Computerberechnungen das fünfzehnte Pflaster, das ebenfalls keine Freiheitsgrade hatte. Schließlich hat Michael Rao 2017 den Beweis erbracht, dass es keine weiteren fünfeckigen Pflasterungen gibt. Um dies zu beweisen, verwendete Rao ein speziell geschriebenes Computerprogramm, das in einem Teil der wissenschaftlichen Gemeinschaft eine gewisse Skepsis hervorruft, obwohl es unabhängig reproduziert und verifiziert wurde.

Ein anderer Ansatz zur Klassifizierung von Eineckkacheln basiert auf der Tatsache, dass wir uns auf die Eigenschaften von Kacheln in Bezug auf die Symmetriegruppe konzentrieren. Wenn für zwei beliebige Fliesen in einem Pflaster eine Symmetrie vorhanden ist, die die erste zur zweiten Platte führt, dann wird eine solche Pflasterung genannt isoedrisch. Ganz allgemein sagen wir das Piling k-isoedrischwenn der Satz seiner Fliesen gebrochen ist k Klassen unter der Wirkung einer Symmetriegruppe. Zum Beispiel die Fliesen in Abb. 13 sind isoedrisch, weil jede Kachel entweder durch Parallelübertragung (solche Kacheln in einer Farbe) oder durch Drehung (solche Kacheln sind in verschiedenen Farben gemalt) in eine andere umgewandelt werden kann. Und Pflaster auf Reis. 11 ist bereits 2-isoedrisch: Die gelb gestrichenen Kacheln können ineinander umgewandelt werden, so dass die Kacheln sich selbst kombinieren, ebenso wie die blauen Kacheln ineinander übersetzt werden können, aber die blaue Kachel nicht in Gelb übersetzt werden kann. Andere Tilings, die wir in der Lösung sahen, sind auch k-ishedral für verschiedene k. Um dies zu sehen, zeichnen wir sie neu, so dass die Kacheln dann nur dann durch die Kachelsymmetrie ineinander umgewandelt werden könnenwenn sie in einer Farbe gemalt sind (wie es bei der Pflasterung der Bedingung war, die, wie wir jetzt verstehen, 3-isoedrisch ist). Wenn wir das getan haben, sehen wir das für einen von ihnen k = 8 (Abb. 15, links), für die Sekunde k = 16 (Abb. 15, rechts), und für die dritte k = 10 (Abb. 15, unten).

Abb. 15

Es können isoedrische Pflasterungen durch konvexe Polygone klassifiziert werden. Also, alles ist verfügbar:

  • 14 isoedrische Pflaster dreieckige Fliesen,
  • 56 isoedrische Fliesen mit konvexen viereckigen Fliesen,
  • 24 isoedrische Fliesen mit konvexen fünfeckigen Fliesen,
  • 13 isoedrische Fliesen mit konvexen sechseckigen Fliesen.

Grundsätzlich sind sie "nicht starr" (wie in der Kachel in Fig. 13 gezeigt). Aber einige von ihnen während der Deformation sind nicht mehr isoedrisch. So ist zum Beispiel die Verkleidung auf Abb. 16: Wir können die horizontalen Streifen relativ zueinander verschieben, aber danach kann das Dreieck mit der horizontalen Basis nicht in ein Dreieck mit der Symmetrie geneigten Basis umgewandelt werden.

Abb. 16

Zu klassifizieren k– isoedrische Pflasterungen mit k > 1 ist auch möglich. Dies ist jedoch ebenso wie bei Fliesen mit nichtkonvexen Fliesen viel komplizierter und bereits der Fall von 2-isoedrischen Fliesen wird aufgrund der großen Anzahl von Verzweigungsoptionen schwierig zu sehen. Und über die großen Werte k Wir werden nicht einmal reden.


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