Göttlicher Funke

Göttlicher Funke

Interview mit Olga Orlova mit George Shabat
"Trinity Option" №5 (249), 13. März 2018

Olga Orlowa

Im Herbst 2017 verstarb in Princeton, vor Erreichen des 52. Lebensjahres, ein herausragender Mathematiker, der Fields Award-Gewinner. Vladimir Voevodsky. Im Dezember 2017 fand in Moskau eine internationale Konferenz zu seinem Andenken statt. Über was Mathematik Voevodsky verließ, Olga Orlowa fragte einen Spezialisten für algebraische Geometrie, Professor an der RSUH und der Independent University of Moscow, Dr. Phys.-Mat. der Wissenschaften George Schabbat.

George Schabbat

– Vladimir Voevodsky hatte selbst für einen hervorragenden Mathematiker ein ungewöhnliches Schicksal. In der Tat, unter den ausgezeichneten Mathematikern der XX-XXI Jahrhunderte gibt es nicht so viele Leute, die keine Hochschulbildung, traditionelle Lehrer, abgeschlossen hätten. Und Sie, für Voevodsky, in seinen Worten, waren nur derjenige, der ihn in die große Mathematik einführte, obwohl er formal nie sein Mentor war. Wie war es?

– Es war so. Wir beide waren ziemlich deklassierte Elemente des späten Sozialismus, besonders Wolodja. Er wurde erneut von der Moskauer Staatlichen Universität vertrieben und arbeitete als Laborant in einem Ausbildungszentrum. Anscheinend war er von der Tatsache angezogen, dass dort Computer waren.Und da ich kein Mitglied des Komsomols war, hatte ich nicht die Möglichkeit, regelmäßige Lehrtätigkeiten auszuüben, nach denen ich immer strebte, und anstatt an irgendeiner Universität zu arbeiten, leitete ich einen Kreis "Experimentelle Mathematik" für Fünftklässler (unter denen war mein Sohn) . Obwohl ich als offizieller Hauptberuf in einem bestimmten Computerzentrum arbeitete, habe ich immer Mathematik gemacht, und ich hatte normalerweise alle Arten von Papieren mit Formeln bei mir. Der Labortechniker Voevodsky hat sie einmal bemerkt und ist sehr interessiert geworden, weil er damals völlig von der Welt der Mathematik isoliert war. Bald bat er mich, ihm eine Aufgabe zu geben. Das war an sich ziemlich ungewöhnlich; Ich stellte ihm eine nicht sehr schwierige Frage. Noch ungewöhnlicher war die Tatsache, dass Wolodja mir eine Woche später eine detaillierte Antwort gab, die er mit Hilfe eines Computer-Experiments machte, das er sofort organisierte. Und diese Antwort erwies sich als völlig nicht-trivial. Das heißt, für eine ähnliche Semesterarbeit würde ich es ohne Zögern "perfekt" sagen. Sogar dieses kleine Ergebnis während der Woche von einer Person mit der Bildung von zwei Kursen der Mechanik war sehr stark.Aber, natürlich, kein Vergleich mit den weiteren Ergebnissen von Wolodja, einschließlich diejenigen, die wir zusammen erhalten haben, geht er nicht.

– Sie sagten, dass Sie beide Elemente in der Mathematik freigegeben wurden. Aber jetzt, nach einer langen Zeit, wird ein solcher Standpunkt akzeptiert, dass die Sowjetunion ein Paradies für Wissenschaftler war, besonders für Theoretiker, die nicht mit der Verteidigungsindustrie verwandt sind. Die Arbeitsbedingungen waren viel angenehmer als die der Wissenschaftler im Westen oder im modernen Russland.

– Es kann durchaus sein, dass es sich dabei um einige betitelte Wissenschaftler oder eine engere Gemeinschaft handelt (tatsächlich ist sie in Moskau vom Steklov-Institut vertreten), wo die Hauptaufgabe der Mathematiker darin besteht, Mathematik zu studieren, um Theoreme zu beweisen. Sie berichten von bewiesenen Theoremen. Aber wenn man die sehr starken mathematischen Zeitschriften jener Jahre, vor allem "Funktionelle Analyse", "Errungenschaften der mathematischen Wissenschaften", betrachtet, kann man einfach die Arbeitsorte der Autoren in den Fußnoten betrachten. Es sind fast immer seltsame Orte und Institutionen, die nicht mit Mathematik zu tun haben. Und wir alle, einschließlich mir (ich habe drei Jobs unter dem Sowjetregime gewechselt), sehr oft gab es einen Pflichtbesuch und fast immer offizielle Pflichten, die überhaupt nichts mit reiner Mathematik zu tun hatten.

Wolodja über dieses Thema hat sehr stark erklärt, dass er an einer uninteressanten Arbeit nicht arbeiten würde. Es schien mir unglaubwürdig, denn fast alle anderen sowjetischen Mathematiker arbeiteten dort, wo es nötig war. Aber es stellte sich genau so heraus, wie er sagte. Er hat in seinem Leben in keinem Land irgendetwas getan, an dem er nicht interessiert wäre.

"Wie hat er sich dann von einem angehenden Labortechniker in einen Weltstar verwandelt?" Dies geschah vor deinen Augen.

Vladimir Voevodsky. Foto von www.ias.edu

– Die Hauptumwandlung geschah wirklich vor meinen Augen. Man muss sagen, dass Wolodja, nachdem er noch keine Universität beendet hatte (er hat jedoch nie die MSU abgeschlossen hat), fünf Werke veröffentlicht, zwei davon in internationalen Zeitschriften. Und sie waren alle von sehr hohem Standard. Einer von ihnen hat mich aus der Sicht des Lebens absolut verblüfft, da er es buchstäblich auf Sakhalin im Konstruktionsteam getan hat. Als er dorthin ging, teilte er mir die originellsten Ideen über diese Arbeit mit. Als er zurückkam, war die Arbeit komplett abgeschlossen. Im September hatte er es bereits auf dem Seminar von Shafarevich, dem ernsthaftesten Moskauer Seminar über algebraische Geometrie, berichtet.

Die Arbeit war der Etah-Topologie gewidmet, einem sehr raffinierten, komplexen Teil der modernen Mathematik. Wie kannst du so eine wunderbare Arbeit im Bauteam schreiben – das ist wirklich ein Mysterium. Hier war es notwendig, Voivodsky zu sein!

– Georgij Borisowitsch, als es eine Konferenz zum Gedenken an Vladimir Voevodsky gab, haben Sie ihn mit zwei herausragenden historischen Persönlichkeiten der Mathematik – Alexander Grothendik und Evarist Galois – verglichen. Warum?

– Erstens, alle drei, jeder auf seine Weise, passten nicht in die bestehenden Grundlagen der Gesellschaft. Zur gleichen Zeit war Voevodsky vielleicht der konfliktfreiste von ihnen. Galois hat immer andere beleidigt. Grothendieck hat, neben seiner beruflichen Karriere, tatsächlich mit der mathematischen Gemeinschaft gebrochen. Zweitens erhielten alle drei in keiner Weise eine regelmäßige Ausbildung, während die meisten der starken Mathematiker zu jeder Zeit die besten Universitäten abschlossen. Galois wurde nicht in die damals stärkste Bildungseinrichtung aufgenommen. Voevodsky wurde von der Moskauer Staatlichen Universität vertrieben. Und Grothendiek meistert die Anfänge der Mathematik in einem Konzentrationslager. Drittens – und das ist natürlich das Wichtigste – haben alle drei einen enormen Beitrag zur Mathematik geleistet, weit im Voraus und bildeten weitgehend die Sprache und das System der Konzepte, die die Mathematik der nachfolgenden Generationen sprach und dachte.

Die Tatsache, dass sie ihre Zeit überholten, ist leicht, die Tatsachen zu erklären. Die Werke von Galois wurden in der Regel zwanzig Jahre nach seinem Tod gelesen. Die Arbeiten von Grothendieck über die Grundlagen der algebraischen Geometrie haben den Denkstil und die Sprache dieser Wissenschaft verändert, aber diese Werke wurden erst viele Jahre nach den ersten Publikationen von Grothendieck allgemein anerkannt. Voewodsky realisierte weitgehend die sehr vagen Träume Grothendiecks, und hinter ihnen wahrscheinlich die Zukunft.

"Aber du und Voevodsky haben sich auch beruflich mit Grotendik verbunden." Erzählen Sie uns von Ihrer Teilnahme am Programm Grotendik.

– Hier ist es notwendig, ein paar Worte darüber zu sagen, wie Grothendieck die traditionelle mathematische Gemeinschaft verlassen hat. In den späten 1960er Jahren gab er es komplett auf und erfuhr, dass das Institut für höhere wissenschaftliche Forschung in der Nähe von Paris, wo Grotendik arbeitete, teilweise vom Militär finanziert wurde. Er betrachtete dies als einen Verrat der Mathematiker an den Idealen der reinen Wissenschaft und ging an die Universität seiner Jugend in Montpellier, wo er zum ersten Mal in seinem Leben mit Studenten arbeiten musste, die absolut nichts wissen. Grothendieck erfand ein absolut elementares Thema für solche Studenten,aber in dem er selbst nie beschäftigt war, und nannte die relevanten Studienobjekte "Kinderzeichnungen", da ihr Hauptgegenstand Linien auf gekrümmten geschlossenen Flächen gezeichnet sind. Der Name erklärt sich dadurch, dass solche Linien von jedem Kind gezeichnet werden können. Ungefähr in der Mitte von Grothendiecks Leben in Montpellier stellte sich plötzlich heraus, dass der sowjetische Mathematiker Gennady Bely ein gewisses Ergebnis erzielte, das diese naive Aktivität mit dem von Grothendieck verband, bevor er die offizielle Mathematik verließ. Grothendieck schrieb sehr lebhaft über seine emotionalen Eindrücke des Satzes von Bely in dem informellen Text "Entwurf eines Programms", der 1984 erschien. Dieser Text erreichte schnell Moskau, und Wolodja und ich hatten bereits einige Erfahrungen in der Zusammenarbeit gesammelt. Wir kannten den Geschmack des anderen und erkannten, dass dieser Zweig der Mathematik für uns ist.

– Aber wie ist das technisch passiert? Woher weißt du, dass Grothendieck das tut, als Grothendieck tatsächlich die Lebensweise des Einsiedlers führte?

– Hier ist es notwendig, ein wenig über die Kontakte von sowjetischen Mathematikern mit der Weltwissenschaft im Allgemeinen zu erzählen. Trotz des Eisernen Vorhangs waren diese Kontakte ziemlich dicht.Unter dem Deckmantel der Touristen kam eine große Anzahl von führenden Mathematikern in die UdSSR, vor allem nach Moskau. Sie sagen, dass Pierre Deligne über den Zaun der Moskauer Staatlichen Universität klettern konnte (ich selbst habe es nicht gesehen, aber ich hörte Delines Berichte mehrmals in den Seminaren von Gelfand und Shafarevich, nach denen er mit allen sprach.) Spät in 2-3 Monaten erreichten uns die besten mathematischen Zeitschriften. Es war mit Grothendiecks Programm, dass eine ziemlich lustige Geschichte passiert ist. Der Text existierte in Form eines duplizierten Manuskripts und wurde in Moskau schneller verbreitet als an anderen Orten. Ich erkläre dies dadurch, dass die Moskauer Intelligenz an Samisdat gewöhnt war. Daher störte es uns überhaupt nicht, dass der Text eines unklaren Status uns erreichte.

– Es stellt sich heraus, dass sich der komplexeste Text der algebraischen Geometrie wie Samisdat verbreitet.

– Im Grunde natürlich, ja; das ist nicht gerade ein Text über algebraische Geometrie – vielmehr über verborgene Verbindungen der algebraischen Geometrie mit anderen Zweigen der Mathematik. Es wurde erst 1993 veröffentlicht. Und ich sprach mit einigen starken ausländischen Mathematikern, die sicher waren, dass dies ein verrückter Unsinn war. Wie auch immer, keine ernsthafte Mathematik.Jetzt ist die Einstellung zum Grothendieck-Programm völlig anders. Es gibt viele hundert Publikationen mit Links zu diesem Thema.

– Jetzt ist es eine klassische Arbeit.

– Nun ja, aber hauptsächlich aufgrund der Tatsache, dass sie in Moskau waren, begannen sie, diese Arbeit ernst zu nehmen. Und unser Artikel mit Wolodja "Zeichnen von Kurven über Nummernfelder" war das erste mathematische Werk mit exakten Formulierungen, Definitionen und Beweisen, in dem es zur allgemeinen Öffentlichkeit kam. Sie kam in einer Sammlung des 60. Jahrestages von Grothendieck heraus.

Wir hatten genau drei Tage Zeit, um diesen Artikel zu schreiben, da es in der üblichen Weise unmöglich war, ihn ins Ausland zu schicken. Und sie wurde bereits in die Sammlung aufgenommen, da die Redaktion der Sammlung Yuri Ivanovich Manin umfasste. Um einen Artikel legal in den Westen zu schicken, war es notwendig, auszufüllen, worüber moderne junge Mathematiker keine Ahnung haben …

– Holen Sie die Erlaubnis von der "ersten Abteilung"?

– Ja, einige "erste Abteilung" (Wolodja hatte es nicht, und hätte die entsprechende Anfrage bei meiner Arbeit mit Verwirrung bekommen) musste bestätigen, dass, wenn es irgendwelche Formeln in dem Artikel gibt, diese Formeln keine Geheimnisse enthüllen.

– Und sie haben schließlich de facto geöffnet?!

"Vielleicht … Aber Gott sei Dank haben diese Geheimnisse bisher nichts mit dem Militär zu tun."

Wolodja und ich wollten unseren Artikel nicht nur zur Sammlung schicken, sondern auch persönlich zu Grothendieck, aber wir wussten nicht, was mit dem Brief aus Moskau nicht einmal nach Paris geschehen konnte, aber niemand wusste wo, denn Grothendieck war schon ein Einsiedler.

Uns half der französische Mathematiker Sansyuk, der eine lustige Sache sagte: "Mit mir als einem bürgerlichen Mathematiker wird Grotendik natürlich nicht sprechen, und Sie, der unterdrückte Sowjet, werden höflich antworten." So ist es passiert. Wir haben Grotendik in dem Brief gefragt, ob wir wirklich seine Ideen entwickeln. Er antwortete mit einer kurzen bemerkenswerten Note, in der eine Redewendung interessant war. In der Tat wünschte er uns sehr viel Erfolg. Und dann schrieb er: "Sie warten wahrscheinlich auf mathematische Kommentare. Aber ich werde sie nicht geben, wegen der dringlicheren Angelegenheiten. Über kurzes Leben Ich muss sagen, dass es sein 60. Geburtstag war, und er lebte 93 Jahre (Voevodsky – 51, und Galois – nur 21). Vielleicht sind nach seinem Verständnis die 33 Jahre, die er blieb, nichts. Aber in dieser "kurzen" Zeit hat Grothendieck selbst viel geschafft. Neben dem Mathematikstudium versuchte er Physik zu verstehen und schrieb seine absolut wundervolle Autobiographie.

– Wie war also die Verbindung zwischen Voevodskys Teilnahme am Grothendieck-Programm und seinem größten Beitrag zur Mathematik?

– Was das Grottendic-Programm anbelangt, könnte dieser Beitrag ein wenig indirekt sein.

Grothendíks mathematisches Erbe aus der Sicht der Oberfläche sieht zweigeteilt aus. Als er als gewöhnlicher Mathematiker und fundierte algebraische Geometrie arbeitete, war es eine solche Fabrik von neuen Konzepten und Theoremen, an denen eine ganze Menge Leute arbeiteten, einschließlich weltberühmter Leute. Sein Programm ist im Gegenteil die Frucht ziemlich exotischer Reflexionen eines Einsiedlers (der freilich von zwei oder drei wenig bekannten Mathematikern etwas geholfen wurde).

Aber die beiden erwähnten Teile haben eine gemeinsame Grundlage, die ich kürzlich genannt habe die Ausbreitung der topologischen Intuition über das Offensichtliche hinaus.

Im 19. Jahrhundert war die topologische Intuition sehr schwer zu formalisieren. Zum Beispiel war es nicht einfach, eine strenge mathematische Definition eines Lochs zu geben.

Im 20. Jahrhundert geschah dies auf so viele verschiedene Arten. Das Erstaunen begann durch die Tatsache verursacht zu werden, dass völlig unterschiedliche Theorien (Homologie und Kohomologie) in "guten" Fällen die gleichen Antworten geben.Ein anderes auffallendes Phänomen (meiner Meinung nach völlig ungelöst) ist, dass die topologische Intuition oft in viel weiteren Grenzen arbeitet als angenommen, wenn sie eingeschaltet wird. Alles begann in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit den Werken von Andre Weil und wurde dann von vielen Mathematikern entwickelt. Weil beschrieb die Konturen der Theorie, die er gerne sehen würde; Wenn Sie eine strenge Sprache wählen, schrieb er die Axiome der Zukunft (ihm unbekannt!) Theorie auf und entwickelte seinen wichtigen Sonderfall. Grothendik so eine Theorie (et al Kohomologie) gebaut, aber diese Theorie war eine von vielen. Grothendieck schlug vor, dass hinter all diesen Theorien etwas gemeinsam war und er formulierte einen weiteren Traum von Motive Objekte in algebraischer Geometrie studiert: Informationen über von allen die Kohomologie irgendeines Gegenstandes hätte im Motiv des Gegenstandes enthalten sein sollen. In der Konstruktion der Motivtheorie hat Voewodsky seinen Hauptbeitrag geleistet, indem er eine besondere Art von topologischer Intuition (homotop). Ich hatte das Glück, bei der Geburt von Volodina anwesend zu sein, vielleicht die Hauptidee.Der naive Transfer von der homotopischen Topologie zur algebraischen Geometrie einer der Hauptkonstruktionen konnte überhaupt nicht funktionieren. Dann sagte Wolodja: "Ja, das funktioniert nicht so. Also müssen wir einen anderen Index eingeben, und alles wird funktionieren." Die Annahme wurde bestätigt. Ich weiß nicht, ob das jemand anderes herausfinden könnte.

– Was ist Intuition in der Mathematik? Und was ist Woewodskys Intuition?

– Er fühlte die Hauptideen seiner Vorgänger. Und vor allem Grothendieck. Er spürte, dass es das richtige Verlangen gab, die richtige Absicht, eine bestimmte Theorie aufzubauen. Also, sagte er, es muss gebaut werden. Und vielleicht liegt die Hauptkomponente von Voevodskys Intuition in der unmotivierten Überzeugung, dass richtig Theorien Alles wird gut gehen. Dies Intuition führte zu seinen besten Ergebnissen.

Ich schien nicht zu sagen, dass die Bandbreite der Ergebnisse, für die er den Fields Award gewonnen hat, eine relativ einfache Anwendung der allgemeinen Theorie ist, die er konstruiert hat, und diese Theorie ist meiner Meinung nach viel wichtiger als die individuellen Konsequenzen davon. Trotz privater Ergebnisse erhielt er bemerkenswerte, zweifellos würdige Fields-Prämie.

– Warum, nachdem Vladimir Voevodsky dieses Ergebnis bekommen hatte, interessierte er sich schnell für andere Dinge? Es gab eine Leidenschaft für mathematische Methoden in der Populationsgenetik. Und dann sein letztes Programm, die unwichtigen Grundlagen der Mathematik, als er sich zu entwickeln versuchte Einige Methoden zum Selbsttest aller mathematischen Ergebnisse. Warum war er in seinem Feld verkrampft?

– Fields Preisträger oft, nachdem sie erhalten haben, wechseln das Tätigkeitsfeld. Es ist mit Novikov, mit Mumford, Grothendik und mit Voevodsky auch geschehen. Eine mögliche Erklärung: Ein Mann in seinen besten Jahren, fühlt, dass er wahrscheinlich seine besten mathematischen Ergebnisse erhalten hat. Wolodja bewertete später seine Leidenschaft für die Populationsgenetik als nicht tragend – es sei denn, er war ein wenig erfolgreich bei der Popularisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie unter den Algebraisten.

Was die einseitigen Grundlagen der Mathematik betrifft, ist dies eine bemerkenswerte Richtung, für die meiner Meinung nach eine sehr große Zukunft besteht.

– Und was war die humanitäre Idee dieses Projekts? Die Idee, die für die gesamte Menschheit wichtig ist, ist die Schaffung univalenter Grundlagen der Mathematik?

– Dieser Bereich betrifft nicht nur die ferne Zukunft der Menschheit. Leute verschiedener Berufe – Logik, Programmierer und in geringerem Maße Philosophen – arbeiten jetzt sehr aktiv daran. Und Wolodjas großes Verdienst liegt in der Tatsache, dass er sie für mindestens ein Jahr in Princeton zusammenbrachte.

Wolodja träumte von einer produktiveren als jetzt der Interaktion von Mathematik und Computer. Vor allem Mathematik, aber allgemeines Denken.

Wenn nun Computer für uns völlig routinemäßig rechnen, dann ist laut Wolodja die Zeit gekommen, nicht nur zu kalkulieren, sondern auch zu begründen. Streng genommen gehört dieser Gedanke mehr zu Leibniz als zu Wolodja, aber in jenen Jahrhunderten, wo es nur ein Märchen war; In unserer Zeit hat sie ernsthafte Chancen, wahr zu werden. Große Arbeit zur Automatisierung des mathematischen Denkens wurde natürlich vor Wolodja geleistet, aber er erweiterte seine homotopische Intuition auf diese Tätigkeit, die außerhalb der üblichen Vorstellungen von Programmierern, aber auch vieler Logiker liegt.

– Wie hat sich die Mathematik nach Voevodsky verändert?

– Wie bei Grothendieck gibt es in seinem Erbe eher traditionelle und weniger traditionelle Teile.

Der traditionellere Teil beinhaltet seine Arbeit in reiner Mathematik, und für einige von ihnen wurde er mit der Fields-Prämie ausgezeichnet. Er hat einen enormen Beitrag zur Motivtheorie geleistet, und einige der phantastischen Ideen Grothendiecks konnten begraben werden, wenn Voevodsky sie nicht verstand und nicht entwickelte. Er hat der Motivtheorie einen solchen Impuls gegeben, daß sie jetzt aktiv arbeitet, und diese Theorie hat sicher eine große Zukunft (hier sage ich meine Meinung, nicht Voevodsky, der der Zukunft der reinen Mathematik generell skeptisch gegenüberstand). Der traditionelle Teil enthält Wolodjas weniger bekannte frühe Arbeiten zur Theorie der Kinderzeichnungen von Grotendik – ich führe diese Aktivität mit meinen Schülern seit mehr als einem Vierteljahrhundert fort, viele Mathematiker aus verschiedenen Ländern sind beigetreten, und ich sehe auch die Zukunft dieser Theorie.

Der weniger traditionelle Teil schließt die Arbeit von Voevodsky auf den einseitigen Grundlagen der Mathematik ein. Diese Arbeiten sind meist nicht abgeschlossen und gehen über reine Mathematik hinaus. Im Großen und Ganzen beziehen sie sich auf Probleme denken im Allgemeinen, sowohl für die ewigen Aspekte dieser Probleme, als auch für die Moderne, verbunden mit der Computerisierung der intellektuellen Prozesse.Die weitere Entwicklung des Voevodsky-Projekts erfordert die gemeinsamen Anstrengungen von Mathematikern und Menschen anderer Berufe, und ich hoffe, dass dieses Projekt nach Wolodjas Abreise nicht aufgegeben wird.

Voewodsky bestätigte dies mit seinem ganzen Leben müssen verrückte Ideen entwickeln. Wenn nur ein göttlicher Funke in ihnen wäre.

Interviewte Olga Orlova

Video-Interview


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