Brian Davis: "Wo geht Mathematik hin?" • Alexander Sergeev • Wissenschaftsnachrichten zu "Elementen" • Mathematik, Methodologie der Wissenschaft

Brian Davis: „Wo geht Mathe hin?“

Professor Brian Davis, Fakultät für Mathematik, King's College, London (Foto von www.mth.kcl.ac.uk)

Die American Mathematical Society hat einen Artikel von Brian Davies, Professor am Royal College of London, zur Veröffentlichung angenommen. In der Arbeit "Whither Mathematics?" ("Wo geht Mathematik?") Wird argumentiert, dass im 20. Jahrhundert die genaueste der exakten Wissenschaften eine Veränderung erfahren hat, die die Natur der Ergebnisse grundlegend verändert. Laut Professor Davis wird sich die Mathematik in Zukunft von der Wissenschaft, die seit zwei Jahrtausenden bekannt ist, stark unterscheiden.

Jahrtausendelang glaubte man, dass die Mathematik unabweisbare ewige Wahrheiten enthüllte. Viele bemerkenswerte mathematische Aussagen, wie die Sätze der euklidischen Geometrie, sind in unseren Tagen wahr, so wie sie vor zweitausend Jahren waren. Dennoch erlebte die Mathematik im 20. Jahrhundert drei tiefe Krisen, die den Status der mathematischen Forschung signifikant veränderten.

Die erste dieser Krisen ist mit Gödels Unvollständigkeitssatz verbunden, der besagt, dass es in jedem hinreichend reichen axiomatischen System Sätze gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können.Obwohl Gödels Theorem einen eher unbedeutenden Einfluss auf die praktische Arbeit von Mathematikern hatte, ist es direkt mit dem Problem des ontologischen Status von mathematischen Objekten verbunden.

Die meisten Mathematiker, schreibt Brian Davis, halten sich intuitiv an ein Konzept, das als Platonismus bekannt ist. Demnach haben mathematische Entitäten und Konstruktionen, wie Platons Ideen, eine gewisse objektive Existenz, zum Beispiel als logische Möglichkeiten. Aber für objektive Entitäten müssen alle Eigenschaften vollständig eindeutig bestimmt sein, was mit Gödels Theorem kaum vereinbar ist.

Vier Farben reichen aus, um die Karte von Großbritannien so zu färben, dass keine zwei benachbarten Grafschaften in der gleichen Farbe gemalt werden. So können Sie jede Karte auf dem Flugzeug färben. Das Theorem wurde 1852 formuliert und 1976 mit einem Computer bewiesen (Abb. Aus dem Buch des Great Fermat Theorems, MCNMO, 2000).

Brian Davis erzählt die zweite Krise von der Invasion der Computermathematik. Am Beispiel des vierfarbigen Kartenfarbsatzes erinnert er sich, dass eine vollständige Aufzählung aller Zweige im Beweis nur am Computer möglich war.Allerdings haben viele Mathematiker ernsthafte Zweifel, wie sehr solchen Beweisen vertraut werden kann, die nie vollständig "manuell" verifiziert wurden.

Kritik hat hier mehrere Aspekte. Erstens könnte der Computer in den Berechnungen fehlschlagen. Selbst wenn das Ergebnis mehrmals getestet wird, erhöht dies nur die Wahrscheinlichkeit, dass der Beweis korrekt ist, aber es macht es nicht absolut zuverlässig. Zweitens können die Prozessor- und Hilfsprogramme (Compiler, Bibliotheken usw.) Fehler enthalten und sogar enthalten, und es ist unmöglich, ihren Einfluß auf die Richtigkeit des Beweises vollständig auszuschließen. Und schließlich das Wichtigste: Das Programm selbst, das zum Suchen oder Verifizieren von Beweisen geschrieben wurde, kann auch Fehler enthalten. Es ist ebenso schwierig, mathematisch genau zu überprüfen, ob es der Spezifikation vollständig entspricht, als manuell den Beweis mit seiner Hilfe zu prüfen (und möglicherweise schwieriger). Es genügt zu sagen, dass die Beschreibungen der Sprachen, in denen Programme geschrieben werden, Hunderte von Seiten mit nicht immer perfekt klarem Text enthalten. Die Einbeziehung solcher Beschreibungen in die Formulierung des Theorems beraubt jede Aussicht, Beweise zu erhalten.

All diese Überlegungen haben dazu geführt, dass eine Reihe von reinen Mathematikern den mit Computern gewonnenen Beweisen äußerst skeptisch gegenübersteht. Dennoch sind in den letzten Jahrzehnten immer mehr Theoreme aufgetaucht, deren Beweise für den menschlichen Geist völlig unvorstellbar sind, wenn auch nicht durch Computer verstärkt.

Thomas Hales von der University of Michigan demonstriert die Lösung von Keplers Problem der dichtesten Kugelpackung im Weltraum, die seit 1611 auf ihre Lösung wartet (Foto von www.umich.edu)

Als Beispiel gibt Davis eine Lösung für das sogenannte Kepler-Problem der dichtesten Kugelpackung. Im Jahr 1998 stellte Thomas Hales das Journal vor Annalen der Mathematik der Nachweis der entsprechenden Aussage, die 250 Blatt umfasste und neben geometrischen Überlegungen die Ergebnisse umfangreicher Computerberechnungen enthielt. Die Gruppe von zwanzig Experten, die damit begannen, die Beweise zu analysieren, kollabierte schließlich im Jahr 2004 und kam nicht zu einer endgültigen Schlussfolgerung über die Richtigkeit der Beweise.

Dennoch, als der wahre Höhepunkt des "Alptraums der Komplexität", gibt Brian Davis ein weiteres Beispiel – ein Problem, das als Klassifizierung einfacher endlicher Gruppen bekannt ist.Für die in Frage stehende Frage ist es nicht so wichtig, was das Problem selbst ist. Es ist wichtig, dass die Theorie der Gruppen vielen Forschungsgebieten in Physik und Mathematik zugrunde liegt, und daher wird die Frage der Klassifizierung von Gruppen als sehr wichtig angesehen.

Um es in den 1970er Jahren zu lösen, wurde eine Art internationales Konsortium von Mathematikern zusammengestellt. Ungefähr hundert Theoretiker teilten die Arbeit untereinander und begannen, das Problem zu lösen. Dies ist anscheinend das einzige Beispiel in der Geschichte eines solchen "industriellen" Ansatzes zur Lösung eines mathematischen Problems. Nach und nach wurden drei unendliche Familien von Gruppen und 26 spezielle Fälle endlicher Gruppen herausgegriffen (die Existenz der größten von ihnen wurde nur durch Computer entdeckt).

Danach stellte sich die Frage nach dem erschöpfenden Charakter dieser Klassifikation. Als sich die Arbeit verschiedener Gruppen zu einem allgemeinen Beweis zu vereinigen begann, wurden zahlreiche Lücken entdeckt. Die meisten von ihnen konnten sich allmählich schließen. Dennoch – im Moment – 25 Jahre nach der ersten Ankündigung, dass der Satz bewiesen ist – werden nur 5 der 12 Bände des vollständigen Beweises veröffentlicht.

Laut Experten können die Beweise als ziemlich stabil angesehen werden. Dies bedeutet jedoch nur, dass die derzeit bekannten Lücken bei den Beweisen nicht grundlegend erscheinen und offenbar auf Kosten moderater Anstrengungen geschlossen werden können, ohne dass die Beweisstrategie insgesamt geändert wird. Die Existenz dieser Lücken deutet jedoch darauf hin, dass man die Zuverlässigkeit des gigantischen Beweises als Ganzes nicht garantieren kann. Aber noch schlimmer, selbst wenn mit der Zeit alle Lücken im Beweis geschlossen werden könnten, ist es unwahrscheinlich, dass es mindestens ein Dutzend Mathematiker auf der ganzen Erde geben wird, die die Logik des monströsen Beweises ausreichend verstehen.

So stand die Mathematik vor dem Problem der fast unwiderstehlichen Komplexität der Beweise. Die Lösung einer wichtigen Aufgabe, die in mehreren Sätzen formuliert ist, kann Zehntausende von Seiten belegen, was es tatsächlich unmöglich macht, sie vollständig zu erfassen und zu verstehen.

In der Schlussfolgerung seines Artikels beschreibt Brian Davis die Natur der Veränderungen in der Mathematik. "1875 konnte jeder Mathematiker innerhalb weniger Monate die Beweise der meisten bekannten Theoreme vollständig verstehen.Bis 1975 … konnte die Mathematik den Beweis eines bewiesenen Satzes noch vollständig verstehen. Bis zum Jahr 2075 werden viele Bereiche der reinen Mathematik von Theoremen abhängen, die keiner der Mathematiker einzeln oder kollektiv versteht. … Eine formelle Angelegenheit wird die formale Überprüfung komplexer Beweise sein, aber es wird viele Ergebnisse geben, deren Anerkennung auf einem sozialen Konsens beruhen wird, nicht weniger als auf strikten Beweisen. "

Wie Ingenieure sprechen Mathematiker nicht über fundiertes Wissen, sondern über das Maß an Vertrauen in die Zuverlässigkeit ihrer Ergebnisse. Dies kann die Mathematik anderen Disziplinen näher bringen und möglicherweise dazu führen, dass die philosophische Frage nach dem besonderen ontologischen Status mathematischer Objekte wegfällt.

Alexander Sergeev

P.S. Der vollständige Text des Artikels finden Sie hier. Meiner Meinung nach verdient es definitiv eine Übersetzung ins Russische.


Like this post? Please share to your friends:
Schreibe einen Kommentar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: